Chứng minh rằng các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: 2a + 7 và 5a + 3 với a thuộc n

Để chứng minh rằng các số \(2a + 7\) và \(5a + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng chúng không có ước số chung nào khác ngoài 1. Giả sử \(d\) là một ước số chung của \(2a + 7\) và \(5a + 3\). Điều này có nghĩa là \(d\) chia hết cả \(2a + 7\) và \(5a + 3\). Ta có: \[ d \mid (2a + 7) \] \[ d \mid (5a + 3) \] Bây giờ, ta sẽ kết hợp hai điều kiện trên để tìm \(d\). Xét hiệu của \(5a + 3\) và \(2a + 7\): \[ (5a + 3) - 2(2a + 7) = 5a + 3 - 4a - 14 = a - 11 \] Vì \(d\) chia hết cả \(5a + 3\) và \(2a + 7\), nên \(d\) cũng phải chia hết cho hiệu của chúng: \[ d \mid (a - 11) \] Bây giờ, ta xét \(2a + 7\) và \(a - 11\): \[ 2(a - 11) = 2a - 22 \] Hiệu của \(2a + 7\) và \(2a - 22\) là: \[ (2a + 7) - (2a - 22) = 2a + 7 - 2a + 22 = 29 \] Vì \(d\) chia hết cả \(2a + 7\) và \(a - 11\), nên \(d\) cũng phải chia hết cho hiệu của chúng: \[ d \mid 29 \] 29 là một số nguyên tố, do đó ước số chung \(d\) chỉ có thể là 1 hoặc 29. Kiểm tra trường hợp \(d = 29\): Nếu \(d = 29\), thì \(29\) phải chia hết cho \(2a + 7\) và \(5a + 3\). Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì \(29\) là số nguyên tố và không thể chia hết cho bất kỳ giá trị nào của \(a\) ngoại trừ 1. Do đó, \(d\) chỉ có thể là 1. Vậy, \(2a + 7\) và \(5a + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau.