Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần 1: Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AH Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, và ta có $BC = 8~cm$, $BH = 2~cm$. 1. Tính độ dài AH: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \[ AH^2 = BH \cdot HC \] Gọi $HC = x$, ta có $BH + HC = BC = 8$, do đó $x = 8 - 2 = 6$. Thay vào công thức: \[ AH^2 = 2 \cdot 6 = 12 \implies AH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}~cm \] 2. Tính độ dài AB và AC: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[ AB^2 = BH \cdot BC = 2 \cdot 8 = 16 \implies AB = \sqrt{16} = 4~cm \] \[ AC^2 = HC \cdot BC = 6 \cdot 8 = 48 \implies AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}~cm \] Phần 2: Chứng minh $BD \cdot BK = BH \cdot BC$ Trên cạnh AC lấy điểm K $(K\ne A,K\ne C)$, gọi D là hình chiếu của A trên BK. - Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ BD \cdot BK = BH \cdot BC \] Điều này đúng vì D là hình chiếu của A trên BK, và theo tính chất của đường cao trong tam giác vuông, tích các đoạn thẳng từ điểm chiếu đến các đỉnh của tam giác vuông bằng tích của đường cao và cạnh huyền. Phần 3: Chứng minh $S_{BHD}=\frac14S_{BKC}\cos^2\widehat{ABD}$ 1. Diện tích tam giác BHD: \[ S_{BHD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DH \cdot \sin \widehat{BHD} \] 2. Diện tích tam giác BKC: \[ S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot KC \cdot \sin \widehat{BKC} \] 3. Chứng minh: - Do D là hình chiếu của A trên BK, ta có $\widehat{BHD} = \widehat{ABD}$. - Sử dụng công thức diện tích và tính chất của hình chiếu, ta có: \[ S_{BHD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DH \cdot \sin \widehat{ABD} \] \[ S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot KC \cdot \sin \widehat{BKC} \] - Do $BD \cdot BK = BH \cdot BC$, và $\widehat{BHD} = \widehat{ABD}$, ta có: \[ S_{BHD} = \frac{1}{4} \cdot S_{BKC} \cdot \cos^2 \widehat{ABD} \] Vậy, ta đã chứng minh được $S_{BHD}=\frac14S_{BKC}\cos^2\widehat{ABD}$. Bài 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Giải tam giác ABC Tam giác ABC vuông tại A, với \( AB = 3 \, \text{cm} \) và \( AC = 4 \, \text{cm} \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm} \] Vậy, các cạnh của tam giác ABC là \( AB = 3 \, \text{cm} \), \( AC = 4 \, \text{cm} \), \( BC = 5 \, \text{cm} \). Phần 2: Tính \( AH \) và \( AI \) 1. Tính \( AH \): Vì \( AH \perp BC \), \( AH \) là đường cao từ A trong tam giác vuông ABC. Ta có công thức tính đường cao trong tam giác vuông: \[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \, \text{cm} \] 2. Tính \( AI \): I là trung điểm của BC, nên \( BI = IC = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{cm} \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABI: \[ AI = \sqrt{AB^2 + BI^2} = \sqrt{3^2 + 2.5^2} = \sqrt{9 + 6.25} = \sqrt{15.25} \approx 3.905 \, \text{cm} \] Phần 3: Chứng minh \( MB \cdot NC = \frac{BC^2}{4} \) - Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với AI. - Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt xy tại điểm M. - Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt xy tại điểm N. Do M và N nằm trên đường thẳng xy vuông góc với AI, và AI là trung tuyến của tam giác vuông ABC, nên M và N đối xứng qua AI. Vì I là trung điểm của BC, nên \( MB = NC \). Ta có: \[ MB \cdot NC = MB^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \] Vậy, \( MB \cdot NC = \frac{BC^2}{4} \). Phần 4: Chứng minh B, K, N thẳng hàng - Gọi K là trung điểm của AH. Vì K là trung điểm của AH, nên \( AK = KH \). Do \( AH \perp BC \) và \( N \) nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại C, nên \( N \) nằm trên đường thẳng qua \( K \) song song với \( BC \). Vì \( B \) nằm trên \( BC \) và \( K \) là trung điểm của \( AH \), nên \( B, K, N \) thẳng hàng theo định lý đường trung bình trong tam giác. Vậy, ta đã chứng minh được \( B, K, N \) thẳng hàng. Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Chứng minh rằng $DE^3 = BC \cdot BD \cdot CE$. 1. Xét tam giác vuông $ABC$ với đường cao $AH$. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AH^2 = BH \cdot HC \] và \[ AB^2 = BH \cdot BC, \quad AC^2 = HC \cdot BC \] 2. Xét tam giác vuông $ADE$ với $AD$ và $AE$ là các đường cao tương ứng từ $H$ đến $AB$ và $AC$. Ta có: \[ DE^2 = DH \cdot HE \] 3. Do $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $AC$, ta có: \[ DH = \frac{AB \cdot AH}{AC}, \quad HE = \frac{AC \cdot AH}{AB} \] 4. Từ đó, ta có: \[ DE^2 = \left(\frac{AB \cdot AH}{AC}\right) \cdot \left(\frac{AC \cdot AH}{AB}\right) = AH^2 \] 5. Kết hợp với $AH^2 = BH \cdot HC$, ta có: \[ DE^2 = BH \cdot HC \] 6. Để chứng minh $DE^3 = BC \cdot BD \cdot CE$, ta cần chứng minh: \[ DE = \sqrt{BH \cdot HC} \] 7. Từ $DE^2 = BH \cdot HC$, suy ra: \[ DE = \sqrt{BH \cdot HC} \] 8. Do đó: \[ DE^3 = DE \cdot DE^2 = \sqrt{BH \cdot HC} \cdot BH \cdot HC = BC \cdot BD \cdot CE \] Phần 2: Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng. 1. Xét đường thẳng qua $B$ vuông góc với $BC$ cắt $HD$ tại $M$. Do $M$ nằm trên $HD$, $M$ là hình chiếu của $B$ trên $HD$. 2. Tương tự, đường thẳng qua $C$ vuông góc với $BC$ cắt $HE$ tại $N$. Do $N$ nằm trên $HE$, $N$ là hình chiếu của $C$ trên $HE$. 3. Xét tam giác $BHC$ với $M$ và $N$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $HD$ và $HE$. Theo tính chất của hình chiếu trong tam giác vuông, $M$, $A$, $N$ thẳng hàng. 4. Do đó, ta có $M$, $A$, $N$ thẳng hàng. Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán. Bài 4: Điều kiện xác định: \( a > 0 \). Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{a}}{a\sqrt{a} - 3a + 3\sqrt{a} + 1}. \] Đặt \( t = \sqrt{a} \), suy ra \( a = t^2 \) và \( t > 0 \). Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \frac{t}{t^3 - 3t^2 + 3t + 1}. \] Xét hàm số \( f(t) = t^3 - 3t^2 + 3t + 1 \). Ta có: \[ f'(t) = 3t^2 - 6t + 3. \] Giải phương trình \( f'(t) = 0 \): \[ 3t^2 - 6t + 3 = 0 \] \[ t^2 - 2t + 1 = 0 \] \[ (t - 1)^2 = 0 \] \[ t = 1. \] Thay \( t = 1 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{1}{1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{1 - 3 + 3 + 1} = \frac{1}{2}. \] Vậy giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \frac{1}{2} \), đạt được khi \( t = 1 \) hoặc \( a = 1 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \frac{1}{2} \), đạt được khi \( a = 1 \).