gGiúp mình với! v=11,29 m/s đúng ko

Ta có bài toán về xilanh cách nhiệt với khí He ở hai bên, vách cách nhiệt có khối lượng m = 2 kg có thể chuyển động không ma sát. Ta cần tìm vận tốc lớn nhất của vách trong quá trình chuyển động. **Dữ liệu:** - Khí He (helium), khối lượng mol \(\mu = 2 \, g/mol = 2 \times 10^{-3} \, kg/mol\) - Khí lý tưởng, \(R = 8.31 \, J/(mol \cdot K)\) - Phía trái: \(V_1 = 3 \, l = 3 \times 10^{-3} \, m^3\), \(p_1 = 10^5 \, Pa\), \(T_1 = 1092 \, K\) - Phía phải: \(V_2 = 2 \, l = 2 \times 10^{-3} \, m^3\), \(p_2 = 2.5 \times 10^5 \, Pa\), \(T_2 = 1365 \, K\) - Khối lượng vách: \(m = 2 \, kg\) - Hệ cách nhiệt, không ma sát --- ### Bước 1: Tính số mol khí ở hai bên Áp dụng phương trình khí lý tưởng cho mỗi bên: \[ p V = n R T \Rightarrow n = \frac{p V}{R T} \] - Bên trái: \[ n_1 = \frac{p_1 V_1}{R T_1} = \frac{10^5 \times 3 \times 10^{-3}}{8.31 \times 1092} \approx \frac{300}{9071} \approx 0.03307 \, mol \] - Bên phải: \[ n_2 = \frac{p_2 V_2}{R T_2} = \frac{2.5 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3}}{8.31 \times 1365} = \frac{500}{11344} \approx 0.04407 \, mol \] --- ### Bước 2: Xác định các thông số đặc trưng He là khí đơn nguyên tử, nhiệt dung mol đẳng tích: \[ C_V = \frac{3}{2} R = \frac{3}{2} \times 8.31 = 12.465 \, J/(mol \cdot K) \] Hằng số adiabatic: \[ \gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{C_V + R}{C_V} = \frac{12.465 + 8.31}{12.465} = 1.6667 \approx \frac{5}{3} \] --- ### Bước 3: Xác định trạng thái cân bằng ban đầu Khi vách đứng yên, cân bằng lực trên vách là: \[ p_1 = p_2 \] Nhưng ban đầu \(p_1 \neq p_2\), do đó vách sẽ chuyển động. Khi vách chuyển động, thể tích bên trái và bên phải sẽ thay đổi, giả sử vách chuyển động sang bên phải với vận tốc \(v\). --- ### Bước 4: Phân tích động lực học và bảo toàn năng lượng - Vách có khối lượng \(m\), chuyển động không ma sát. - Hai ngăn khí cách nhiệt → quá trình biến đổi khí trong mỗi ngăn là đẳng nhiệt hay đẳng nhiệt? Vì hệ cách nhiệt và thể tích thay đổi → biến đổi **đẳng nhiệt**, sai rồi. - Vì cách nhiệt và không trao đổi nhiệt, quá trình biến đổi khí là **đẳng entrop** → quá trình đẳng nhiệt không đúng, mà là **biến đổi cách nhiệt** (adiabatic). Vì vậy, biến đổi khí bên mỗi ngăn là quá trình đẳng nhiệt hay đẳng áp? - Do cách nhiệt, ta xét biến đổi khí đẳng entropy (đẳng nhiệt là biến đổi nhiệt độ không đổi, không đúng trong trường hợp này). Vì quá trình là cách nhiệt, tức không trao đổi nhiệt nên quá trình biến đổi khí trong mỗi ngăn là **quá trình đẳng entropy (adiabatic)**. Do vậy, ta áp dụng phương trình khí lý tưởng cho quá trình đẳng entropy: \[ p V^\gamma = \text{hằng số} \] Ở trạng thái cân bằng cuối cùng khi vách đứng yên tạm thời (vận tốc v = 0), áp suất hai bên bằng nhau, gọi \(p\), thể tích hai bên \(V_1', V_2'\). Tổng thể tích cố định: \[ V_1' + V_2' = V_1 + V_2 = 3 \times 10^{-3} + 2 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-3} \, m^3 \] --- ### Bước 5: Xác định các hằng số trong quá trình đẳng entropy Áp dụng cho bên trái: \[ p_1 V_1^\gamma = p_1 V_1^\gamma = p' V_1'^\gamma \] Tương tự bên phải: \[ p_2 V_2^\gamma = p' V_2'^\gamma \] Từ đó: \[ p' = p_1 \left(\frac{V_1}{V_1'}\right)^\gamma = p_2 \left(\frac{V_2}{V_2'}\right)^\gamma \] Do đó: \[ p_1 \left(\frac{V_1}{V_1'}\right)^\gamma = p_2 \left(\frac{V_2}{V_2'}\right)^\gamma \] Hay \[ \left(\frac{V_1}{V_1'}\right)^\gamma \Big/ \left(\frac{V_2}{V_2'}\right)^\gamma = \frac{p_2}{p_1} \Rightarrow \left(\frac{V_1 / V_1'}{V_2 / V_2'}\right)^\gamma = \frac{p_2}{p_1} \] Suy ra \[ \left(\frac{V_1 V_2'}{V_2 V_1'}\right)^\gamma = \frac{p_2}{p_1} \] Với \[ V_1' + V_2' = V \] Đặt \(x = V_1'\), suy ra \(V_2' = V - x\). Thay vào: \[ \left(\frac{V_1 (V - x)}{V_2 x}\right)^\gamma = \frac{p_2}{p_1} \] Lấy logarit rồi giải phương trình để tìm \(x\). --- ### Bước 6: Tính thể tích cân bằng \(V_1'\) Đặt số liệu: \[ V_1 = 3 \times 10^{-3}, \quad V_2 = 2 \times 10^{-3}, \quad V = 5 \times 10^{-3} \] \[ p_1 = 1 \times 10^{5}, \quad p_2 = 2.5 \times 10^{5} \] \[ \gamma = 5/3 = 1.6667 \] \[ \left(\frac{3 \times 10^{-3} (5 \times 10^{-3} - x)}{2 \times 10^{-3} x}\right)^{1.6667} = \frac{2.5 \times 10^{5}}{1 \times 10^{5}} = 2.5 \] \[ \Rightarrow \frac{3 \times 10^{-3} (5 \times 10^{-3} - x)}{2 \times 10^{-3} x} = (2.5)^{1/1.6667} = (2.5)^{0.6} \] Tính: \[ (2.5)^{0.6} = e^{0.6 \ln 2.5} \approx e^{0.6 \times 0.9163} = e^{0.5498} \approx 1.732 \] Vậy: \[ \frac{3 \times 10^{-3} (5 \times 10^{-3} - x)}{2 \times 10^{-3} x} = 1.732 \] Rút gọn: \[ \frac{3 (5 \times 10^{-3} - x)}{2 x} = 1.732 \] \[ 3 (5 \times 10^{-3} - x) = 1.732 \times 2 x = 3.464 x \] \[ 15 \times 10^{-3} - 3 x = 3.464 x \] \[ 15 \times 10^{-3} = 3.464 x + 3 x = 6.464 x \] \[ x = \frac{15 \times 10^{-3}}{6.464} \approx 2.32 \times 10^{-3} \, m^3 \] Thể tích bên trái sau cân bằng: \[ V_1' = 2.32 \times 10^{-3} \, m^3 \] Thể tích bên phải: \[ V_2' = V - V_1' = 5 \times 10^{-3} - 2.32 \times 10^{-3} = 2.68 \times 10^{-3} \, m^3 \] --- ### Bước 7: Tính áp suất cân bằng \(p'\) Áp dụng: \[ p' = p_1 \left(\frac{V_1}{V_1'}\right)^\gamma = 1 \times 10^5 \left(\frac{3 \times 10^{-3}}{2.32 \times 10^{-3}}\right)^{1.6667} \] \[ = 10^5 \times (1.293)^{1.6667} = 10^5 \times e^{1.6667 \ln 1.293} \] \[ \ln 1.293 = 0.2575 \Rightarrow e^{1.6667 \times 0.2575} = e^{0.429} = 1.535 \] \[ p' = 1.535 \times 10^{5} \, Pa \] --- ### Bước 8: Tính biến đổi năng lượng Khi vách chuyển động, năng lượng nội tại của khí biến đổi thành động năng của vách. Bảo toàn năng lượng: \[ \Delta U_1 + \Delta U_2 = E_{động \, học} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 \] Năng lượng nội tại khí lí tưởng (đơn nguyên tử): \[ U = n C_V T \] Với \(C_V = \frac{3}{2} R\). Nhiệt độ thay đổi theo quá trình adiabatic: \[ T V^{\gamma -1} = \text{hằng số} \] Nhiệt độ cuối cùng bên trái: \[ T_1' = T_1 \left(\frac{V_1}{V_1'}\right)^{\gamma -1} = 1092 \times (1.293)^{0.6667} \] Tính: \[ (1.293)^{0.6667} = e^{0.6667 \times 0.2575} = e^{0.1717} = 1.187 \] \[ T_1' = 1092 \times 1.187 = 1296 \, K \] Tương tự bên phải: \[ T_2' = T_2 \left(\frac{V_2}{V_2'}\right)^{\gamma -1} = 1365 \times \left(\frac{2 \times 10^{-3}}{2.68 \times 10^{-3}}\right)^{0.6667} \] \[ = 1365 \times (0.746)^{0.6667} = 1365 \times e^{0.6667 \ln 0.746} \] \[ \ln 0.746 = -0.292, \quad e^{0.6667 \times (-0.292)} = e^{-0.195} = 0.823 \] \[ T_2' = 1365 \times 0.823 = 1124 \, K \] --- ### Bước 9: Tính biến thiên năng lượng nội tại từng bên Biến đổi nội năng bên trái: \[ \Delta U_1 = n_1 C_V (T_1' - T_1) = 0.03307 \times 12.465 \times (1296 - 1092) = 0.03307 \times 12.465 \times 204 \] \[ = 0.03307 \times 2542 = 84.06 \, J \] Bên phải: \[ \Delta U_2 = n_2 C_V (T_2' - T_2) = 0.04407 \times 12.465 \times (1124 - 1365) = 0.04407 \times 12.465 \times (-241) \] \[ = 0.04407 \times (-3005) = -132.4 \, J \] Tổng biến đổi nội năng: \[ \Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 84.06 - 132.4 = -48.34 \, J \] --- ### Bước 10: Tính vận tốc lớn nhất của vách Kết quả \(\Delta U < 0\) có nghĩa là năng lượng nội tại của khí giảm, và năng lượng này chuyển thành động năng cho vách. \[ E_{động \, học} = - \Delta U = 48.34 \, J \] Do đó: \[ \frac{1}{2} m v_{max}^2 = 48.34 \Rightarrow v_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 48.34}{2}} = \sqrt{48.34} = 6.95 \, m/s \] --- ### Kết luận: Vận tốc lớn nhất của vách trong quá trình chuyển động là khoảng: \[ \boxed{v_{max} = 6.95 \, m/s} \] --- Nếu bạn hỏi vận tốc \(v=11.29 \, m/s\) thì kết quả đó không đúng theo tính toán của mình. --- **Tóm tắt:** - Tính số mol khí mỗi bên - Xác định quá trình đẳng entropy (adiabatic) của khí - Xác định thể tích cân bằng của hai bên sau khi vách đứng yên tạm thời - Dùng bảo toàn năng lượng để tìm vận tốc lớn nhất của vách --- Nếu cần, mình có thể giải thích thêm chi tiết từng bước.