giải bài tập

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \( y = -2x^3 + 3x^2 - 5x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = -2x^3 + 3x^2 - 5x \) là một đa thức bậc ba, do đó tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tính đạo hàm Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 - 5x) = -6x^2 + 6x - 5. \] Bước 3: Tìm các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -6x^2 + 6x - 5 = 0. \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] với \( a = -6 \), \( b = 6 \), \( c = -5 \). \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-5)}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 120}}{-12}. \] Do \( 36 - 120 = -84 \) là số âm, phương trình không có nghiệm thực. Vậy hàm số không có điểm cực trị. Bước 4: Xét sự biến thiên Vì phương trình \( y' = 0 \) không có nghiệm thực, đạo hàm \( y' = -6x^2 + 6x - 5 \) luôn âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Do đó, hàm số luôn nghịch biến trên \( \mathbb{R} \). Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Vì hàm số luôn nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), nên không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định. Bước 6: Vẽ đồ thị Để vẽ đồ thị, ta cần xác định thêm một số điểm đặc biệt: - Giao điểm với trục tung: \( x = 0 \), \( y = 0 \). Vậy đồ thị đi qua điểm \( (0, 0) \). - Giao điểm với trục hoành: Giải phương trình \( -2x^3 + 3x^2 - 5x = 0 \): \[ x(-2x^2 + 3x - 5) = 0. \] \[ x = 0 \] hoặc giải phương trình bậc hai \( -2x^2 + 3x - 5 = 0 \). Phương trình bậc hai không có nghiệm thực (vì \(\Delta = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5) = 9 - 40 = -31 < 0\)), nên chỉ có nghiệm \( x = 0 \). Vậy đồ thị chỉ cắt trục hoành tại điểm \( (0, 0) \). Kết luận Đồ thị hàm số \( y = -2x^3 + 3x^2 - 5x \) là một đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ \( (0, 0) \) và luôn nghịch biến trên \( \mathbb{R} \). Đồ thị không có điểm cực trị và không có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên toàn bộ tập xác định.