giaii ho toinvoi ạ

Dưới đây là lời giải chi tiết bài 104: --- **Bài 104:** *Cho:* - Xe 1 chạy trên chu vi hình chữ nhật ABCD với vận tốc \( v_1 = 7\, m/s \) - Xe 2 chạy trên chu vi tam giác DAC với vận tốc \( v_2 = 8\, m/s \) - Các cạnh: \( AD = 3\, km = 3000\, m \), \( AB = 4\, km = 4000\, m \) --- ### 1) Tìm thời điểm xe 2 chạy được số vòng nhiều hơn xe 1 đúng 1 vòng. - Chu vi hình chữ nhật ABCD: \[ P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(4000 + 3000) = 2 \times 7000 = 14000\, m \] - Chu vi tam giác DAC: Tính độ dài \( DC \): \[ DC = AB = 4000\, m \quad (\text{vì ABCD là hình chữ nhật}) \] Do đó tam giác DAC có các cạnh: \[ DA = 3000\, m, \quad AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4000^2 + 3000^2} = 5000\, m \] Như vậy, \[ P_{DAC} = DA + AC + CD = 3000 + 5000 + 4000 = 12000\, m \] - Số vòng xe 1 chạy được sau thời gian \( t \): \[ n_1 = \frac{v_1 t}{P_{ABCD}} = \frac{7t}{14000} = \frac{t}{2000} \] - Số vòng xe 2 chạy được: \[ n_2 = \frac{v_2 t}{P_{DAC}} = \frac{8t}{12000} = \frac{t}{1500} \] - Yêu cầu: Số vòng xe 2 nhiều hơn xe 1 là 1 vòng: \[ n_2 - n_1 = 1 \Rightarrow \frac{t}{1500} - \frac{t}{2000} = 1 \] Tính \( t \): \[ t \left(\frac{1}{1500} - \frac{1}{2000}\right) = 1 \] \[ t \left(\frac{4 - 3}{6000}\right) = 1 \Rightarrow t \times \frac{1}{6000} = 1 \Rightarrow t = 6000\, s \] Đổi sang giờ, phút: \[ 6000\, s = \frac{6000}{3600} = 1,6667\, h = 1\, h\, 40\, phút \] *Vậy, lúc 6h + 1h40 phút = 7h40 phút, xe 2 chạy được số vòng nhiều hơn xe 1 đúng 1 vòng.* --- ### 2) Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe trong 6 phút đầu tiên. - Thời gian 6 phút = 360 giây. Ta cần tính khoảng cách giữa hai xe ở mọi thời điểm trong khoảng \( t \in [0,360] \), tìm giá trị nhỏ nhất. --- **Cách tiếp cận:** - Tính vị trí của mỗi xe theo thời gian \( t \). - Vì xe chạy liên tục trên chu vi, ta có thể biểu diễn vị trí bằng khoảng cách tính từ điểm xuất phát theo chiều chạy. --- **Vị trí xe 1 trên chu vi hình chữ nhật ABCD:** - Chu vi \( P_1 = 14000\, m \) - Quãng đường đã chạy của xe 1: \( s_1 = v_1 t = 7 t \) - Số vòng đã chạy: \( k_1 = \lfloor \frac{s_1}{P_1} \rfloor \), phần dư: \[ r_1 = s_1 - k_1 P_1 \] - Xác định vị trí trên chu vi ABCD: Chu vi chạy theo thứ tự: A → B → C → D → A - AB: 4000 m - BC: 3000 m - CD: 4000 m - DA: 3000 m Vị trí theo phần dư \( r_1 \): - Nếu \( 0 \leq r_1 < 4000 \) m: xe trên AB, vị trí: \[ (x_1, y_1) = (r_1, 0) \] - Nếu \( 4000 \leq r_1 < 7000 \): xe trên BC: \[ r = r_1 - 4000, \quad (x_1, y_1) = (4000, r) \] - Nếu \( 7000 \leq r_1 < 11000 \): xe trên CD: \[ r = r_1 - 7000, \quad (x_1, y_1) = (4000 - r, 3000) \] - Nếu \( 11000 \leq r_1 < 14000 \): xe trên DA: \[ r = r_1 - 11000, \quad (x_1, y_1) = (0, 3000 - r) \] --- **Vị trí xe 2 trên tam giác DAC:** - Chu vi \( P_2 = 12000\, m \) - Quãng đường xe 2 đã chạy: \( s_2 = v_2 t = 8 t \) - Số vòng chạy: \( k_2 = \lfloor \frac{s_2}{P_2} \rfloor \) - Phần dư: \[ r_2 = s_2 - k_2 P_2 \] - Chu vi theo thứ tự: D → A → C → D Cạnh DA: 3000 m Cạnh AC: 5000 m Cạnh CD: 4000 m Xác định vị trí trên các cạnh: - Nếu \( 0 \leq r_2 < 3000 \): Xe trên DA từ D(0,0) đến A(0,3000): \[ (x_2, y_2) = (0, r_2) \] - Nếu \( 3000 \leq r_2 < 8000 \): Xe trên AC từ A(0,3000) đến C(4000,0), tổng dài 5000 m: Tỉ lệ: \[ l = r_2 - 3000 \] Vị trí: \[ x_2 = \frac{4000}{5000} l = 0.8 l \] \[ y_2 = 3000 - \frac{3000}{5000} l = 3000 - 0.6 l \] - Nếu \( 8000 \leq r_2 < 12000 \): Xe trên CD từ C(4000,0) đến D(0,0), dài 4000 m: \[ l = r_2 - 8000 \] Vị trí: \[ x_2 = 4000 - l \] \[ y_2 = 0 \] --- **Khoảng cách giữa hai xe tại thời điểm \( t \):** \[ d(t) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \] --- **Tìm \( \min_{t \in [0,360]} d(t) \).** --- *Phương án tính:* - Tính giá trị \( d(t) \) tại nhiều giá trị \( t \) trong khoảng từ 0 đến 360 giây, rồi tìm giá trị nhỏ nhất. Vì bài toán yêu cầu tính khoảng cách ngắn nhất trong 6 phút đầu, ta có thể tính số lần chạy vòng tương ứng: - Xe 1: \[ s_1 = 7 \times 360 = 2520\, m < 14000 \] - Xe 2: \[ s_2 = 8 \times 360 = 2880\, m < 12000 \] Nên cả hai xe đều chưa chạy hết một vòng. --- *Dưới đây là ước lượng khoảng cách tại các mốc chính:* - \( t=0 \): Xe 1 tại A(0,0) Xe 2 tại D(0,0) Khoảng cách: \[ d(0) = 0 \] - \( t=360 \): Xe 1: \[ r_1 = 2520 < 4000 \] Vị trí xe 1 trên AB: \[ (x_1, y_1) = (2520, 0) \] Xe 2: \[ r_2 = 2880 < 3000 \] Vị trí xe 2 trên DA: \[ (x_2, y_2) = (0, 2880) \] Khoảng cách: \[ d(360) = \sqrt{(2520 - 0)^2 + (0 - 2880)^2} = \sqrt{2520^2 + 2880^2} \] \[ = \sqrt{6,350,400 + 8,294,400} = \sqrt{14,644,800} \approx 3827\, m \] --- Ta thấy lúc đầu khoảng cách là 0, sau đó tăng lên. Khoảng cách nhỏ nhất trong 6 phút đầu tiên là **0 m**, tức lúc bắt đầu xe cùng xuất phát tại điểm D(0,0). --- ### 3) Tìm thời điểm xe 1 đến C và xe 2 đến D cùng lúc. - Tọa độ C: \( (4000, 3000) \) - Xe 1 chạy chu vi hình chữ nhật ABCD với vận tốc 7 m/s. Ta tìm thời điểm \( t \) khi xe 1 tới C. --- **Xe 1 đến C:** Xe 1 chạy trên chu vi ABCD theo thứ tự: A(0,0) → B(4000,0) → C(4000,3000) → D(0,3000) → A. Tính quãng đường đến C: \[ AB + BC = 4000 + 3000 = 7000\, m \] Vận tốc xe 1: 7 m/s Thời gian xe 1 đến C: \[ t_1 = \frac{7000}{7} = 1000\, s \] --- **Xe 2 đến D:** Xe 2 chạy trên tam giác DAC (D(0,0), A(0,3000), C(4000,0)) theo thứ tự D → A → C → D Chu vi \( P_2 = 12000\, m \) Xe 2 bắt đầu ở D lúc \( t=0 \). Thời gian xe 2 chạy 1 vòng: \[ T_2 = \frac{P_2}{v_2} = \frac{12000}{8} = 1500\, s \] - Lúc \( t=0 \), xe 2 ở D. - Sau 1 vòng: xe 2 lại ở D lúc \( t=1500\, s \). Xe 2 sẽ ở D lần thứ \( n \) vào thời gian: \[ t_2 = 1500 n \] Ta muốn tìm \( t \) sao cho: \[ t = t_1 = 1000\, s = t_2 = 1500 n \] Tức: \[ 1000 = 1500 n \Rightarrow n = \frac{2}{3} \] Không phải số nguyên, nên xe 2 không ở D lúc xe 1 đến C lần đầu. --- Ta tìm thời điểm \( t \) sao cho xe 1 đến C và xe 2 cũng ở D (kể cả vòng lặp). --- Xe 1 sẽ đến C lần tiếp theo sau mỗi vòng: Chu vi xe 1: 14000 m Chu kì chạy 1 vòng: \[ T_1 = \frac{14000}{7} = 2000\, s \] Lúc xe 1 đến C lần thứ \( k \): \[ t_1 = 1000 + (k-1) T_1 = 1000 + 2000 (k-1) \] Xe 2 đến D lần thứ \( n \): \[ t_2 = 1500 n \] Tìm \( t \) sao cho: \[ 1000 + 2000 (k-1) = 1500 n \] \[ 2000 k - 1000 = 1500 n \] \[ 2000 k - 1500 n = 1000 \] --- Ta tìm số nguyên \( k, n \) thỏa mãn. Chia cả hai vế cho 500: \[ 4 k - 3 n = 2 \] Giải phương trình: \[ 4k - 3n = 2 \] Ta có thể tìm nghiệm nguyên: Thử \( k=2 \): \[ 4 \times 2 - 3 n = 2 \Rightarrow 8 - 3n = 2 \Rightarrow 3n = 6 \Rightarrow n=2 \] Nghiệm \( k=2, n=2 \) hợp lệ. Thời gian: \[ t = 1000 + 2000 (2-1) = 1000 + 2000 = 3000\, s = 50\, phút \] Xe 1 đến C lần thứ 2 lúc 6h + 50 phút = 6h50 phút. Xe 2 đến D lần thứ 2 lúc: \[ t_2 = 1500 \times 2 = 3000\, s = 50\, phút \] Cùng thời điểm. --- **Kết luận:** 1. Xe 2 chạy nhiều hơn xe 1 đúng 1 vòng lúc 7h40 phút. 2. Khoảng cách ngắn nhất trong 6 phút đầu là 0 (lúc xuất phát). 3. Xe 1 đến C và xe 2 đến D cùng lúc lúc 6h50 phút. --- Nếu cần giải các bài tiếp theo, bạn vui lòng cho biết nhé!