giải chi tiết các câu này giúp mình với

Bài 1: Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần hiểu rõ hình lập phương và các véc-tơ liên quan. Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 5. Ta sẽ xác định tọa độ các điểm trong không gian Oxyz như sau: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(5, 0, 0)\) - \(C(5, 5, 0)\) - \(D(0, 5, 0)\) - \(A'(0, 0, 5)\) - \(B'(5, 0, 5)\) - \(C'(5, 5, 5)\) - \(D'(0, 5, 5)\) a) Tìm góc giữa các cặp véc-tơ: 1. \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB}\): - \(\overrightarrow{AC} = (5, 5, 0)\) - \(\overrightarrow{AB} = (5, 0, 0)\) Góc giữa hai véc-tơ được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AC}\| \|\overrightarrow{AB}\|} \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 5 \times 5 + 5 \times 0 + 0 \times 0 = 25 \] Độ dài: \[ \|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] \[ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 0^2} = 5 \] \[ \cos \theta = \frac{25}{5\sqrt{2} \times 5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Vậy góc giữa \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB}\) là \(45^\circ\). 2. \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{B'D'}\): - \(\overrightarrow{B'D'} = (0, 5, 0)\) Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B'D'} = 5 \times 0 + 5 \times 5 + 0 \times 0 = 25 \] Độ dài: \[ \|\overrightarrow{B'D'}\| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5 \] \[ \cos \theta = \frac{25}{5\sqrt{2} \times 5} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Vậy góc giữa \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{B'D'}\) là \(45^\circ\). 3. \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{CD}\): - \(\overrightarrow{CD} = (-5, 0, 0)\) Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = 5 \times (-5) + 5 \times 0 + 0 \times 0 = -25 \] Độ dài: \[ \|\overrightarrow{CD}\| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 0^2} = 5 \] \[ \cos \theta = \frac{-25}{5\sqrt{2} \times 5} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] Vậy góc giữa \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là \(135^\circ\). 4. \(\overrightarrow{AD'}\) và \(\overrightarrow{BD}\): - \(\overrightarrow{AD'} = (0, 5, 5)\) - \(\overrightarrow{BD} = (-5, 5, 0)\) Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AD'} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \times (-5) + 5 \times 5 + 5 \times 0 = 25 \] Độ dài: \[ \|\overrightarrow{AD'}\| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] \[ \|\overrightarrow{BD}\| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] \[ \cos \theta = \frac{25}{5\sqrt{2} \times 5\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \] Vậy góc giữa \(\overrightarrow{AD'}\) và \(\overrightarrow{BD}\) là \(60^\circ\). b) Tính các tích vô hướng: 1. \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 25\) 2. \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B'D'} = 25\) 3. \(\overrightarrow{AD'} \cdot \overrightarrow{BD} = 25\) c) Chứng minh \(\overrightarrow{AC'}\) vuông góc với \(\overrightarrow{BD}\): - \(\overrightarrow{AC'} = (5, 5, 5)\) Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{BD} = 5 \times (-5) + 5 \times 5 + 5 \times 0 = -25 + 25 + 0 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên \(\overrightarrow{AC'}\) vuông góc với \(\overrightarrow{BD}\). Bài 2: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về hình học không gian và tích vô hướng của vectơ. a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}\). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm. Giả sử tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Đặt \(A\) tại gốc tọa độ \(O(0, 0, 0)\). - Đặt \(B(a, 0, 0)\). - Đặt \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0\right)\) để đảm bảo \(BC = a\). - Đặt \(D\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{6}, \frac{\sqrt{6}a}{3}\right)\) để đảm bảo \(AD = a\) và \(CD = a\). Bước 2: Tính tọa độ điểm \(M\). \(M\) là trung điểm của \(CD\), do đó: \[ M\left(\frac{\frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{3}a}{2} + \frac{\sqrt{3}a}{6}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{6}a}{3}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{4}, \frac{\sqrt{6}a}{6}\right) \] Bước 3: Tính các vectơ cần thiết. - \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{AC} = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0\right)\) - \(\overrightarrow{AM} = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{4}, \frac{\sqrt{6}a}{6}\right)\) Bước 4: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\). \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = a \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2} + 0 \cdot 0 = \frac{a^2}{2} \] Bước 5: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}\). \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} = a \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}a}{4} + 0 \cdot \frac{\sqrt{6}a}{6} = \frac{a^2}{2} \] b) Tính góc giữa \(AB\) và \(CD\). Bước 1: Tính vectơ \(\overrightarrow{CD}\). \[ \overrightarrow{CD} = \left(0, \frac{\sqrt{3}a}{3}, \frac{\sqrt{6}a}{3}\right) \] Bước 2: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\). \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = a \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}a}{3} + 0 \cdot \frac{\sqrt{6}a}{3} = 0 \] Bước 3: Tính độ dài các vectơ. - \(|\overrightarrow{AB}| = a\) - \(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{\sqrt{3}a}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{6}a}{3}\right)^2} = a\) Bước 4: Tính góc giữa \(AB\) và \(CD\). Vì \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0\), nên góc giữa \(AB\) và \(CD\) là \(90^\circ\). Kết luận: Góc giữa \(AB\) và \(CD\) là \(90^\circ\).