giải chi tiết các câu này giúp mình nhé

Bài 3: Để tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow{P}\) khi xe đi hết đoạn đường dốc, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng cần thiết: - Khối lượng của xe: \(m = 1,5\) tấn = \(1500\) kg. - Gia tốc rơi tự do: \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\). - Độ dài đoạn đường dốc: \(|\overrightarrow{d}| = 30\) m. - Góc nghiêng của đoạn đường dốc so với phương ngang: \(\alpha = 5^\circ\). 2. Tính trọng lực \(\overrightarrow{P}\): \[ \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g} = 1500 \times 9,8 = 14700 \, \text{N} \] 3. Tính công sinh bởi trọng lực: Công thức tính công là: \[ A = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{d} = |\overrightarrow{P}| \cdot |\overrightarrow{d}| \cdot \cos \theta \] Trong đó \(\theta\) là góc giữa \(\overrightarrow{P}\) và \(\overrightarrow{d}\). Vì \(\overrightarrow{P}\) thẳng đứng và \(\overrightarrow{d}\) nghiêng một góc \(5^\circ\) so với phương ngang, nên góc giữa \(\overrightarrow{P}\) và \(\overrightarrow{d}\) là \(90^\circ - 5^\circ = 85^\circ\). \[ A = 14700 \times 30 \times \cos 85^\circ \] 4. Tính giá trị của \(\cos 85^\circ\): Sử dụng máy tính để tính \(\cos 85^\circ \approx 0,0872\). 5. Tính công \(A\): \[ A = 14700 \times 30 \times 0,0872 \approx 38424 \, \text{J} \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: \[ A \approx 38424 \, \text{J} \] Vậy, công sinh bởi trọng lực khi xe đi hết đoạn đường dốc là khoảng \(38424\) J. Bài 4: Để xác định cường độ hợp lực của các lực \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích lực trên mặt phẳng ngang (a): - \(\overrightarrow{F_1}\) và \(\overrightarrow{F_2}\) nằm trên mặt phẳng (a) và tạo với nhau góc \(135^\circ\). - Độ lớn của \(\overrightarrow{F_1}\) là 20 N và \(\overrightarrow{F_2}\) là 15 N. 2. Tính hợp lực của \(\overrightarrow{F_1}\) và \(\overrightarrow{F_2}\): Sử dụng công thức tính hợp lực của hai lực có độ lớn \(F_1\) và \(F_2\) tạo với nhau góc \(\theta\): \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta} \] Thay số vào: \[ F_{12} = \sqrt{20^2 + 15^2 + 2 \times 20 \times 15 \times \cos 135^\circ} \] Biết rằng \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), ta có: \[ F_{12} = \sqrt{400 + 225 + 2 \times 20 \times 15 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} \] \[ F_{12} = \sqrt{625 - 600\sqrt{2}/2} \] \[ F_{12} = \sqrt{625 - 300\sqrt{2}} \] 3. Tính hợp lực tổng với \(\overrightarrow{F_3}\): - \(\overrightarrow{F_3}\) có độ lớn 10 N và vuông góc với mặt phẳng (a), do đó vuông góc với \(\overrightarrow{F_{12}}\). Sử dụng công thức Pythagore để tính hợp lực tổng: \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} \] Thay số vào: \[ F = \sqrt{(625 - 300\sqrt{2}) + 10^2} \] \[ F = \sqrt{625 - 300\sqrt{2} + 100} \] \[ F = \sqrt{725 - 300\sqrt{2}} \] Vậy, cường độ hợp lực của các lực \(\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}\) là \(\sqrt{725 - 300\sqrt{2}}\) N. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét tính chất của tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng. Giả sử $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Khi đó, góc giữa hai vectơ này là $0^\circ$. Tích vô hướng của hai vectơ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \theta \] Với $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Vì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng, nên $\theta = 0^\circ$. Do đó, $\cos 0^\circ = 1$. Vậy: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot 1 = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] Do đó, mệnh đề đúng là: C. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|.$ Các mệnh đề khác không đúng vì: - A. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ chỉ khi $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc, điều này không đúng trong trường hợp này. - B. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1$ không có cơ sở nào để đúng vì tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng không thể âm. - D. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|$ cũng không đúng vì tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng là dương. Câu 2: Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \alpha \] Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] Thay vào công thức tích vô hướng, ta được: \[ |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \alpha = -|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] Vì \(|\overrightarrow{a}|\) và \(|\overrightarrow{b}|\) đều khác 0 (do \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\)), ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho \(|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|\), ta được: \[ \cos \alpha = -1 \] Góc \(\alpha\) có \(\cos \alpha = -1\) là góc \(180^\circ\). Vậy, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(180^\circ\). Đáp án đúng là \(D.~\alpha=180^\circ.\) Câu 3: Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \theta \] Trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Theo đề bài, ta có: - $|\overrightarrow{u}| = 8$ - $|\overrightarrow{b}| = 2$ - $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{b} = 8$ Thay các giá trị này vào công thức, ta được: \[ 8 = 8 \cdot 2 \cdot \cos \theta \] Rút gọn phương trình: \[ 8 = 16 \cdot \cos \theta \] Chia cả hai vế cho 16: \[ \cos \theta = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \] Góc có cosin bằng $\frac{1}{2}$ là $60^\circ$. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{b}$ là $60^\circ$. Vậy đáp án đúng là $B.~60^\circ$. Câu 4: Để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \theta \] Trong đó \(\theta\) là góc giữa hai vectơ. Theo đề bài, ta có: - \( |\overrightarrow{a}| = 7 \) - \( |\overrightarrow{b}| = 2 \) - \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7\sqrt{2}\) Thay các giá trị này vào công thức, ta được: \[ 7\sqrt{2} = 7 \cdot 2 \cdot \cos \theta \] Rút gọn phương trình: \[ 7\sqrt{2} = 14 \cos \theta \] Chia cả hai vế cho 14: \[ \cos \theta = \frac{7\sqrt{2}}{14} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta biết rằng \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Do đó, góc \(\theta = 45^\circ\). Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(45^\circ\). Đáp án đúng là \(B.~45^\circ\).