giải chi tiết toán 12

Câu 13: a) Tập xác định của hàm số: Hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x}{1 - x} \) có mẫu số \( 1 - x \neq 0 \). Do đó, \( x \neq 1 \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] b) Xét tính đơn điệu của hàm số: Ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x}{1 - x} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x - 2)(1 - x) - (x^2 - 2x)(-1)}{(1 - x)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 2)(1 - x) + (x^2 - 2x)}{(1 - x)^2} \] \[ y' = \frac{2x - 2 - 2x^2 + 2x + x^2 - 2x}{(1 - x)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - 2}{(1 - x)^2} \] Xét dấu của \( y' \): \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - 2}{(1 - x)^2} \] Phương trình \( -x^2 + 2x - 2 = 0 \) vô nghiệm vì \( \Delta = 4 - 8 = -4 < 0 \). Do đó, \( -x^2 + 2x - 2 < 0 \) với mọi \( x \neq 1 \). Vì \( (1 - x)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 1 \), nên \( y' < 0 \) với mọi \( x \neq 1 \). Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). c) Cực trị của hàm số: Do \( y' \) không đổi dấu tại \( x = 1 \) (vì \( y' \) không tồn tại tại \( x = 1 \)), hàm số không có cực trị. d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \( (-\infty, 1) \): Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \) và \( x \to 1^- \): \[ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x}{1 - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{-x} = -\infty \] \[ \lim_{x \to 1^-} y = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 2x}{1 - x} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x(x - 2)}{1 - x} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x(x - 2)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x(2 - x)}{x - 1} = +\infty \] Do đó, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \( (-\infty, 1) \). Tóm lại: a) Tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \). b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). c) Hàm số không có cực trị. d) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \( (-\infty, 1) \). Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3}{x - 1} \) và xác định các đặc điểm của đồ thị (C). a) Tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của phân thức bằng 0 và tử số không bằng 0 tại điểm đó. Xét mẫu số \( x - 1 = 0 \), ta có: \[ x = 1 \] Tại \( x = 1 \), tử số \( 2x^2 - 3 = 2(1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1 \neq 0 \). Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). b) Tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số phân thức \( y = \frac{P(x)}{Q(x)} \) được xác định bằng cách so sánh bậc của tử số và mẫu số: - Nếu bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số, không có tiệm cận ngang. - Nếu bậc của tử số bằng bậc của mẫu số, tiệm cận ngang là \( y = \frac{\text{hệ số cao nhất của tử số}}{\text{hệ số cao nhất của mẫu số}} \). Ở đây, bậc của tử số \( 2x^2 - 3 \) là 2 và bậc của mẫu số \( x - 1 \) là 1. Vì bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số, không có tiệm cận ngang. c) Tiệm cận xiên Tiệm cận xiên xảy ra khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng 1 đơn vị. Trong trường hợp này, bậc của tử số là 2 và bậc của mẫu số là 1, nên có tiệm cận xiên. Để tìm phương trình của tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: Chia \( 2x^2 - 3 \) cho \( x - 1 \): 1. \( \frac{2x^2}{x} = 2x \) 2. Nhân \( 2x \) với \( x - 1 \) được \( 2x^2 - 2x \) 3. Trừ \( 2x^2 - 3 \) cho \( 2x^2 - 2x \) được \( 2x - 3 \) 4. \( \frac{2x}{x} = 2 \) 5. Nhân \( 2 \) với \( x - 1 \) được \( 2x - 2 \) 6. Trừ \( 2x - 3 \) cho \( 2x - 2 \) được \( -1 \) Vậy, phương trình của tiệm cận xiên là \( y = 2x + 2 \). d) Tâm đối xứng Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số, ta cần tìm điểm \( I(a, b) \) sao cho đồ thị đối xứng qua điểm này. Đối với hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1, tâm đối xứng có thể được tìm bằng cách tính trung bình của nghiệm của tử số và mẫu số. Tuy nhiên, cách đơn giản hơn là sử dụng kết quả từ phép chia ở phần c). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc 2 trên bậc 1 thường là điểm có hoành độ bằng nghiệm của mẫu số và tung độ bằng giá trị của tiệm cận xiên tại hoành độ đó. Tại \( x = 1 \), \( y = 2(1) + 2 = 4 \). Vậy, tâm đối xứng của đồ thị là \( I(1, 4) \). Kết luận: a) Đúng, (C) có tiệm cận đứng \( x = 1 \). b) Sai, (C) không có tiệm cận ngang. c) Đúng, (C) có tiệm cận xiên \( y = 2x + 2 \). d) Sai, tâm đối xứng là \( I(1, 4) \), không phải \( I(1, 2) \).