Cho hai đa thức $f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right)$ và $g\left(x\right)=x^3-ax^2+bx-3$. Xác định hệ số $a$, $b$ của đa thức $g\left(x\right)$ biết nghiệm của đa thức $f\left(x\right)$ cũ...

Để xác định hệ số \(a\) và \(b\) của đa thức \(g(x) = x^3 - ax^2 + bx - 3\), chúng ta cần sử dụng thông tin rằng nghiệm của đa thức \(f(x) = (x-1)(x+3)\) cũng là nghiệm của đa thức \(g(x)\). Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức \(f(x)\): \[ f(x) = (x-1)(x+3) \] Nghiệm của \(f(x)\) là: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = -3 \] Bước 2: Thay các nghiệm này vào đa thức \(g(x)\) để tìm \(a\) và \(b\). Thay \(x = 1\) vào \(g(x)\): \[ g(1) = 1^3 - a \cdot 1^2 + b \cdot 1 - 3 = 0 \] \[ 1 - a + b - 3 = 0 \] \[ -a + b - 2 = 0 \] \[ -a + b = 2 \quad \text{(1)} \] Thay \(x = -3\) vào \(g(x)\): \[ g(-3) = (-3)^3 - a \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) - 3 = 0 \] \[ -27 - 9a - 3b - 3 = 0 \] \[ -9a - 3b - 30 = 0 \] \[ -9a - 3b = 30 \] \[ -3a - b = 10 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm \(a\) và \(b\). Từ phương trình (1): \[ -a + b = 2 \] \[ b = a + 2 \] Thay \(b = a + 2\) vào phương trình (2): \[ -3a - (a + 2) = 10 \] \[ -3a - a - 2 = 10 \] \[ -4a - 2 = 10 \] \[ -4a = 12 \] \[ a = -3 \] Thay \(a = -3\) vào \(b = a + 2\): \[ b = -3 + 2 \] \[ b = -1 \] Vậy hệ số \(a\) và \(b\) của đa thức \(g(x)\) là: \[ a = -3 \] \[ b = -1 \]