Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kì lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. Tìm tất cả các phần tử của tập A...

Gọi các phần tử của tập hợp A là \(a_1, a_2, \ldots, a_{21}\) với \(a_1 < a_2 < \ldots < a_{21}\). Theo đề bài, tổng của 11 phần tử bất kì lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Ta sẽ xét trường hợp tổng của 11 phần tử lớn nhất và tổng của 10 phần tử nhỏ nhất. Tổng của 11 phần tử lớn nhất là \(a_{11} + a_{12} + \ldots + a_{21}\). Tổng của 10 phần tử nhỏ nhất là \(a_1 + a_2 + \ldots + a_{10}\). Theo đề bài, ta có: \[a_{11} + a_{12} + \ldots + a_{21} > a_1 + a_2 + \ldots + a_{10}\] Bây giờ, ta sẽ xét trường hợp tổng của 11 phần tử nhỏ nhất và tổng của 10 phần tử lớn nhất. Tổng của 11 phần tử nhỏ nhất là \(a_1 + a_2 + \ldots + a_{11}\). Tổng của 10 phần tử lớn nhất là \(a_{12} + a_{13} + \ldots + a_{21}\). Theo đề bài, ta có: \[a_1 + a_2 + \ldots + a_{11} > a_{12} + a_{13} + \ldots + a_{21}\] Từ hai bất đẳng thức trên, ta suy ra: \[a_{11} + a_{12} + \ldots + a_{21} > a_1 + a_2 + \ldots + a_{10}\] \[a_1 + a_2 + \ldots + a_{11} > a_{12} + a_{13} + \ldots + a_{21}\] Cộng hai bất đẳng thức trên, ta được: \[2(a_{11} + a_{12} + \ldots + a_{20}) > 2(a_1 + a_2 + \ldots + a_{10})\] Chia cả hai vế cho 2, ta được: \[a_{11} + a_{12} + \ldots + a_{20} > a_1 + a_2 + \ldots + a_{10}\] Do đó, ta có: \[a_{11} > a_1\] \[a_{12} > a_2\] \[\vdots\] \[a_{20} > a_{10}\] Vì các số 101 và 102 thuộc tập hợp A, ta có: \[a_{11} \geq 101\] \[a_{12} \geq 102\] Do đó, ta có: \[a_1 \leq 100\] \[a_2 \leq 101\] \[\vdots\] \[a_{10} \leq 109\] Vậy các phần tử của tập A là: \[a_1, a_2, \ldots, a_{10}, 101, 102, a_{13}, \ldots, a_{21}\] Đáp số: Các phần tử của tập A là \(a_1, a_2, \ldots, a_{10}, 101, 102, a_{13}, \ldots, a_{21}\) với \(a_1 \leq 100\) và \(a_{10} \leq 109\).