Giải phương trình: $x^2-10x+27=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}$.

Bùi Ngọc Diễm

Điều kiện xác định:\(\begin{cases}6 - x \ge 0 \\x - 4 \ge 0\end{cases}\Rightarrow 4 \le x \le 6\)

Xét vế phải, ta được:

\(A = \sqrt{6 - x} + \sqrt{x - 4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 

\(A^2 = (6 - x) + (x - 4) + 2\sqrt{(6 - x)(x - 4)}\)

\(A^2 = 2 + 2\sqrt{(6 - x)(x - 4)}\)

Với \(4 \le x \le 6\), ta có \((6 - x)(x - 4) \ge 0\) và theo bất đẳng thức Cô-si, ta được:

\((6 - x)(x - 4) \le \frac{(6 - x) + (x - 4)}{2}^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(6 - x = x - 4 \Rightarrow x = 5\).

Do đó: \(A^2 \le 2 + 2 \times 1 = 4 \Rightarrow A \le 2\)

Xét vế trái, ta được: \(B = x^2 - 10x + 27\)  

\(= (x^2 - 10x + 25) + 2\)

\( = (x - 5)^2 + 2\)

Vì \((x - 5)^2 \ge 0\) nên \(B \ge 2\).  

Dấu "=" xảy ra khi \(x = 5\).

Phương trình \(A = B\) xảy ra khi và chỉ khi \(A = 2\) và \(B = 2\), tức là \(x = 5\) (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 5\)