Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 1: a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}3x+y=2\\3x+2y=1\end{matrix}\right.$ Trừ hai phương trình ta có: $(3x + 2y) - (3x + y) = 1 - 2$ $\Leftrightarrow y = -1$ Thay $y = -1$ vào phương trình đầu tiên ta có: $3x + (-1) = 2$ $\Leftrightarrow 3x = 3$ $\Leftrightarrow x = 1$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (1, -1)$. b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x-3y=1\\-x+4y=7\end{matrix}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2 ta có: $-2x + 8y = 14$ Cộng hai phương trình ta có: $(2x - 3y) + (-2x + 8y) = 1 + 14$ $\Leftrightarrow 5y = 15$ $\Leftrightarrow y = 3$ Thay $y = 3$ vào phương trình đầu tiên ta có: $2x - 3(3) = 1$ $\Leftrightarrow 2x - 9 = 1$ $\Leftrightarrow 2x = 10$ $\Leftrightarrow x = 5$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (5, 3)$. Bài 2: Gọi số chi tiết máy tổ thứ nhất sản xuất trong tháng giêng là x (chiếc, điều kiện: x > 0). Gọi số chi tiết máy tổ thứ hai sản xuất trong tháng giêng là y (chiếc, điều kiện: y > 0). Theo đề bài, tổng số chi tiết máy hai tổ sản xuất trong tháng giêng là 900 chiếc: \[ x + y = 900 \] Tháng hai, tổ thứ nhất vượt mức 15%, tức là sản xuất được: \[ x + 0,15x = 1,15x \] Tổ thứ hai vượt mức 10%, tức là sản xuất được: \[ y + 0,10y = 1,10y \] Theo đề bài, tổng số chi tiết máy hai tổ sản xuất trong tháng hai là 1010 chiếc: \[ 1,15x + 1,10y = 1010 \] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ x + y = 900 \] \[ 1,15x + 1,10y = 1010 \] Ta sẽ giải hệ phương trình này. Trước tiên, nhân phương trình đầu tiên với 1,10 để dễ dàng so sánh: \[ 1,10(x + y) = 1,10 \times 900 \] \[ 1,10x + 1,10y = 990 \] Bây giờ ta trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (1,15x + 1,10y) - (1,10x + 1,10y) = 1010 - 990 \] \[ 0,05x = 20 \] \[ x = \frac{20}{0,05} \] \[ x = 400 \] Thay \( x = 400 \) vào phương trình \( x + y = 900 \): \[ 400 + y = 900 \] \[ y = 500 \] Vậy, tháng giêng tổ thứ nhất sản xuất được 400 chi tiết máy và tổ thứ hai sản xuất được 500 chi tiết máy. Bài 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật. Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \( x \) và \( y \) (đơn vị: cm, điều kiện: \( x > 0, y > 0 \)). Bước 1: Thiết lập phương trình từ điều kiện tăng diện tích Khi tăng độ dài mỗi cạnh thêm 1 cm, diện tích mới của hình chữ nhật là \((x + 1)(y + 1)\). Theo đề bài, diện tích tăng thêm 13 cm², do đó ta có phương trình: \[ (x + 1)(y + 1) = xy + 13 \] Khai triển vế trái, ta được: \[ xy + x + y + 1 = xy + 13 \] Rút gọn phương trình, ta có: \[ x + y + 1 = 13 \] Suy ra: \[ x + y = 12 \quad \text{(1)} \] Bước 2: Thiết lập phương trình từ điều kiện giảm diện tích Khi giảm chiều dài đi 2 cm và chiều rộng đi 1 cm, diện tích mới là \((x - 2)(y - 1)\). Theo đề bài, diện tích giảm 15 cm², do đó ta có phương trình: \[ (x - 2)(y - 1) = xy - 15 \] Khai triển vế trái, ta được: \[ xy - x - 2y + 2 = xy - 15 \] Rút gọn phương trình, ta có: \[ -x - 2y + 2 = -15 \] Suy ra: \[ x + 2y = 17 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Giải hệ phương trình Từ hai phương trình (1) và (2), ta có hệ: \[ \begin{cases} x + y = 12 \\ x + 2y = 17 \end{cases} \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (2), ta được: \[ (x + 2y) - (x + y) = 17 - 12 \] \[ y = 5 \] Thay \( y = 5 \) vào phương trình (1): \[ x + 5 = 12 \] \[ x = 7 \] Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 7 cm và 5 cm. Bài 4: a. Khi \( m = 3 \), phương trình của đường thẳng \((d)\) là: \[ y = (3-1)x - 3 = 2x - 3. \] Để vẽ đường thẳng này, ta cần xác định hai điểm thuộc đường thẳng. Chọn \( x = 0 \), ta có: \[ y = 2 \times 0 - 3 = -3. \] Vậy điểm \( (0, -3) \) thuộc đường thẳng. Chọn \( x = 1 \), ta có: \[ y = 2 \times 1 - 3 = -1. \] Vậy điểm \( (1, -1) \) cũng thuộc đường thẳng. Dùng hai điểm này để vẽ đường thẳng \( y = 2x - 3 \). b. Để đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \( A(-1, -3) \), ta thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình của đường thẳng: \[ -3 = (m-1)(-1) - m. \] Giải phương trình: \[ -3 = -m + 1 - m, \] \[ -3 = -2m + 1, \] \[ -4 = -2m, \] \[ m = 2. \] Vậy \( m = 2 \) là giá trị cần tìm. c. Để ba đường thẳng đồng quy, nghĩa là chúng cắt nhau tại một điểm chung. Ta cần tìm \( m \) sao cho đường thẳng \((d)\) cắt hai đường thẳng \( y = x - \frac{2}{3} \) và \( y = -x + 1 \) tại cùng một điểm. Trước tiên, tìm giao điểm của hai đường thẳng \( y = x - \frac{2}{3} \) và \( y = -x + 1 \): Giải hệ phương trình: 1. \( y = x - \frac{2}{3} \) 2. \( y = -x + 1 \) Từ (1) và (2), ta có: \[ x - \frac{2}{3} = -x + 1, \] \[ 2x = \frac{5}{3}, \] \[ x = \frac{5}{6}. \] Thay \( x = \frac{5}{6} \) vào phương trình (1): \[ y = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}. \] Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \( \left( \frac{5}{6}, \frac{1}{6} \right) \). Để đường thẳng \((d)\) đi qua điểm này, ta thay tọa độ vào phương trình của \((d)\): \[ \frac{1}{6} = (m-1) \cdot \frac{5}{6} - m. \] Giải phương trình: \[ \frac{1}{6} = \frac{5(m-1)}{6} - m, \] \[ \frac{1}{6} = \frac{5m - 5}{6} - m, \] \[ \frac{1}{6} = \frac{5m - 5 - 6m}{6}, \] \[ \frac{1}{6} = \frac{-m - 5}{6}, \] \[ 1 = -m - 5, \] \[ m = -6. \] Vậy \( m = -6 \) là giá trị cần tìm để ba đường thẳng đồng quy. Bài 5: 1/ a) Điều kiện xác định: \( x \neq 0, x \neq 2 \) Ta có: \[ \frac{1}{x(x-2)} - \frac{3}{2-x} = 0 \] Biến đổi: \[ \frac{1}{x(x-2)} + \frac{3}{x-2} = 0 \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{1 + 3x}{x(x-2)} = 0 \] Phương trình này thỏa mãn khi tử số bằng 0: \[ 1 + 3x = 0 \] \[ 3x = -1 \] \[ x = -\frac{1}{3} \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x = -\frac{1}{3} \neq 0, x = -\frac{1}{3} \neq 2 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{1}{3} \] 2/ b) Điều kiện xác định: \( x \neq 2, x \neq -2 \) Ta có: \[ \frac{x}{x-2} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{3}{x^2-4} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{x(x+2) - (x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3}{(x-2)(x+2)} \] Rút gọn: \[ x(x+2) - (x-1)(x-2) = 3 \] \[ x^2 + 2x - (x^2 - 3x + 2) = 3 \] \[ x^2 + 2x - x^2 + 3x - 2 = 3 \] \[ 5x - 2 = 3 \] \[ 5x = 5 \] \[ x = 1 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x = 1 \neq 2, x = 1 \neq -2 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 1 \] 3/ a) Điều kiện xác định: \( x \neq 2, x \neq 0 \) Ta có: \[ \frac{x+2}{x-2} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x^2-2x} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{(x+2)x - (x-2)}{x(x-2)} = \frac{2}{x(x-2)} \] Rút gọn: \[ (x+2)x - (x-2) = 2 \] \[ x^2 + 2x - x + 2 = 2 \] \[ x^2 + x + 2 = 2 \] \[ x^2 + x = 0 \] \[ x(x+1) = 0 \] Từ đây ta có: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x = 0 \quad \text{(không thỏa mãn điều kiện)} \] \[ x = -1 \neq 2, x = -1 \neq 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -1 \]