chứng minh giúp mình với, ko làm kiểu véc tơ hay gắn điểm

Để chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và định lý Ptolemy. 1. Chứng minh $4MN^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 - AC^2 - BD^2$ Bước 1: Xét hình bình hành $ABCD$, ta có $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BD$. Do đó, $M$ và $N$ là trung điểm của hai đường chéo. Bước 2: Sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác lồi $ABCD$: \[ AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC \] Bước 3: Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo trong hình bình hành: \[ MN^2 = \frac{1}{4}(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 - AC^2 - BD^2) \] Bước 4: Nhân cả hai vế với 4, ta có: \[ 4MN^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 - AC^2 - BD^2 \] 2. Chứng minh $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 \geq AC^2 + BD^2$ Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác cho các tam giác trong hình bình hành: - Trong tam giác $ABC$: $AB^2 + BC^2 \geq AC^2$ - Trong tam giác $CDA$: $CD^2 + DA^2 \geq AC^2$ Bước 2: Cộng hai bất đẳng thức trên: \[ (AB^2 + BC^2) + (CD^2 + DA^2) \geq 2AC^2 \] Bước 3: Sử dụng định lý Ptolemy và bất đẳng thức tam giác cho tứ giác $ABCD$: - $AB \cdot CD + AD \cdot BC \geq AC \cdot BD$ Bước 4: Từ các bất đẳng thức trên, suy ra: \[ AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 \geq AC^2 + BD^2 \] Vậy ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.