Giải phương trình sau: $\sqrt{4x^2+20x+25}+\sqrt{x^2+6x+9}=10x-20$.

Điều kiện xác định: \( 4x^2 + 20x + 25 \geq 0 \) và \( x^2 + 6x + 9 \geq 0 \). Ta thấy rằng \( 4x^2 + 20x + 25 = (2x + 5)^2 \geq 0 \) và \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \geq 0 \) luôn đúng với mọi \( x \). Do đó, phương trình đã cho có nghĩa với mọi \( x \). Phương trình đã cho: \[ \sqrt{(2x + 5)^2} + \sqrt{(x + 3)^2} = 10x - 20 \] Ta có: \[ |2x + 5| + |x + 3| = 10x - 20 \] Xét các trường hợp: Trường hợp 1: \( 2x + 5 \geq 0 \) và \( x + 3 \geq 0 \) \[ 2x + 5 + x + 3 = 10x - 20 \] \[ 3x + 8 = 10x - 20 \] \[ 8 + 20 = 10x - 3x \] \[ 28 = 7x \] \[ x = 4 \] Kiểm tra \( x = 4 \): \[ 2(4) + 5 = 13 \geq 0 \] \[ 4 + 3 = 7 \geq 0 \] \[ 10(4) - 20 = 20 \] \[ 13 + 7 = 20 \] Vậy \( x = 4 \) thỏa mãn phương trình. Trường hợp 2: \( 2x + 5 \geq 0 \) và \( x + 3 < 0 \) \[ 2x + 5 - (x + 3) = 10x - 20 \] \[ 2x + 5 - x - 3 = 10x - 20 \] \[ x + 2 = 10x - 20 \] \[ 2 + 20 = 10x - x \] \[ 22 = 9x \] \[ x = \frac{22}{9} \] Kiểm tra \( x = \frac{22}{9} \): \[ 2\left(\frac{22}{9}\right) + 5 = \frac{44}{9} + 5 = \frac{44}{9} + \frac{45}{9} = \frac{89}{9} \geq 0 \] \[ \frac{22}{9} + 3 = \frac{22}{9} + \frac{27}{9} = \frac{49}{9} \geq 0 \] Vậy \( x = \frac{22}{9} \) không thỏa mãn điều kiện \( x + 3 < 0 \). Trường hợp 3: \( 2x + 5 < 0 \) và \( x + 3 \geq 0 \) \[ -(2x + 5) + x + 3 = 10x - 20 \] \[ -2x - 5 + x + 3 = 10x - 20 \] \[ -x - 2 = 10x - 20 \] \[ -2 + 20 = 10x + x \] \[ 18 = 11x \] \[ x = \frac{18}{11} \] Kiểm tra \( x = \frac{18}{11} \): \[ 2\left(\frac{18}{11}\right) + 5 = \frac{36}{11} + 5 = \frac{36}{11} + \frac{55}{11} = \frac{91}{11} \geq 0 \] \[ \frac{18}{11} + 3 = \frac{18}{11} + \frac{33}{11} = \frac{51}{11} \geq 0 \] Vậy \( x = \frac{18}{11} \) không thỏa mãn điều kiện \( 2x + 5 < 0 \). Trường hợp 4: \( 2x + 5 < 0 \) và \( x + 3 < 0 \) \[ -(2x + 5) - (x + 3) = 10x - 20 \] \[ -2x - 5 - x - 3 = 10x - 20 \] \[ -3x - 8 = 10x - 20 \] \[ -8 + 20 = 10x + 3x \] \[ 12 = 13x \] \[ x = \frac{12}{13} \] Kiểm tra \( x = \frac{12}{13} \): \[ 2\left(\frac{12}{13}\right) + 5 = \frac{24}{13} + 5 = \frac{24}{13} + \frac{65}{13} = \frac{89}{13} \geq 0 \] \[ \frac{12}{13} + 3 = \frac{12}{13} + \frac{39}{13} = \frac{51}{13} \geq 0 \] Vậy \( x = \frac{12}{13} \) không thỏa mãn điều kiện \( 2x + 5 < 0 \) và \( x + 3 < 0 \). Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất \( x = 4 \).