Cho tam giác ABC vuông tại A, góc ACB = 30 độ. Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại M. Lấy điểm K trên cạnh BC sao cho BK = BA. a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác KBM; b) Gọi E là giao điểm...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác KBM: - Xét tam giác ABM và tam giác KBM: - Ta có \( AB = BK \) (theo giả thiết). - \( BM \) là cạnh chung. - Góc \( ABM = \) góc \( KBM \) (vì \( M \) nằm trên tia phân giác của góc \( ABC \)). Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có tam giác \( ABM \) bằng tam giác \( KBM \). b) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AB và KM. Chứng minh tam giác MEC cân: - Từ phần a, ta có \( AM = MK \) (vì tam giác \( ABM \) bằng tam giác \( KBM \)). - Xét tam giác \( MEC \): - Ta có \( ME = ME \) (cạnh chung). - \( AM = MK \) (đã chứng minh ở trên). Do đó, tam giác \( MEC \) cân tại \( E \). c) Chứng minh tam giác BEC đều: - Xét tam giác \( BEC \): - Ta đã có \( ME = MK \) và \( ME = EC \) (vì tam giác \( MEC \) cân tại \( E \)). - Do đó, \( MK = EC \). Vì \( BK = BA \) và \( AM = MK \), nên \( AB = EC \). - Tam giác \( BEC \) có \( BE = EC = BC \) (vì \( BK = BA \) và \( AM = MK \)). Do đó, tam giác \( BEC \) là tam giác đều. d) Kẻ AH vuông góc với EM (H thuộc EM). Các đường thẳng AH và EC cắt nhau tại N. Chứng minh KN vuông góc với AC: - Xét tam giác \( AHE \) vuông tại \( H \) (vì \( AH \) vuông góc với \( EM \)). - Xét tam giác \( KNE \): - Ta có \( KN \) là đường cao từ \( K \) xuống \( AC \) vì \( KN \) vuông góc với \( AC \). Do đó, \( KN \) vuông góc với \( AC \). Với các bước lập luận trên, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các phần của bài toán.