Câu $\rm 4.$

Câu 4: Để chứng minh tam giác \(ABC\) là tam giác đều, ta cần sử dụng điều kiện \(\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}\). Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản Trong tam giác \(ABC\), ta có công thức: \[ \cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R} \] với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Bước 2: Áp dụng điều kiện bài toán Theo đề bài, ta có: \[ \cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2} \] Do đó, ta suy ra: \[ 1 + \frac{r}{R} = \frac{3}{2} \] Từ đó, ta có: \[ \frac{r}{R} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] Bước 3: Sử dụng tính chất của tam giác đều Trong tam giác đều, ta có \(r = \frac{\sqrt{3}}{6}a\) và \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\), với \(a\) là độ dài cạnh của tam giác đều. Do đó: \[ \frac{r}{R} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{a}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \times \frac{\sqrt{3}}{a} \times \frac{a}{1} = \frac{1}{2} \] Điều này khớp với điều kiện \(\frac{r}{R} = \frac{1}{2}\) mà ta đã tìm được. Bước 4: Kết luận Vì \(\frac{r}{R} = \frac{1}{2}\) chỉ xảy ra khi tam giác là tam giác đều, nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều. Vậy, tam giác \(ABC\) là tam giác đều.