Câu $\rm 1.$

Ninh Hoàng Đặt S

S là gốc tọa độ. Gọi SA⃗=a⃗

SA

=a

, SB⃗=b⃗

SB

=b

, SC⃗=c⃗

SC

=c

.

Vì ABCD là hình bình hành, ta có AB⃗=DC⃗

AB

=DC

.

Hay SB⃗−SA⃗=SC⃗−SD⃗

SB

−SA

=SC

−SD

khi xem A,B,C,D là các vector.

Nếu ta sử dụng vector từ S, thì A⃗,B⃗,C⃗,D⃗

A

,B

,C

,D

là các vector vị trí của các điểm A, B, C, D.

Do ABCD là hình bình hành, ta có AB⃗=DC⃗

AB

=DC

suy ra B⃗−A⃗=C⃗−D⃗

B

−A

=C

−D

.

Từ đó, D⃗=C⃗−B⃗+A⃗

D

=C

−B

+A

.

Tuy nhiên, cách tiếp cận thông thường hơn là sử dụng vector từ đỉnh S làm gốc.

Ta có SA⃗=a⃗

SA

=a

, SB⃗=b⃗

SB

=b

, SC⃗=c⃗

SC

=c

.

Do ABCD là hình bình hành, ta có vector đường chéo AC⃗=AB⃗+AD⃗

AC

=AB

+AD

.

Nếu S là gốc tọa độ, thì A⃗

A

, B⃗

B

, C⃗

C

, D⃗

D

là các vector vị trí.

B⃗−A⃗=C⃗−D⃗

B

−A

=C

−D

khi S không phải là gốc.

Ta sẽ sử dụng vector từ đỉnh S làm gốc.

SA⃗=a⃗,SB⃗=b⃗,SC⃗=c⃗

SA

=a

,SB

=b

,SC

=c

.

Vì ABCD là hình bình hành, ta có SD⃗=SA⃗+AB⃗=SA⃗+DC⃗=SA⃗+(SC⃗−SD⃗)

SD

=SA

+AB

=SA

+DC

=SA

+(SC

−SD

) - đây là cách biểu diễn sai.

Trong hình bình hành ABCD, ta có AC⃗=AB⃗+AD⃗

AC

=AB

+AD

.

Với gốc S, C⃗−A⃗=(B⃗−A⃗)+(D⃗−A⃗)

C

−A

=(B

−A

)+(D

−A

) là sai.

Quan hệ đúng là: AB⃗=DC⃗

AB

=DC

⟹

⟹ B⃗−A⃗=C⃗−D⃗

B

−A

=C

−D

nếu A là gốc.

Sử dụng vector từ đỉnh S:

SA⃗=a⃗

SA

=a

, SB⃗=b⃗

SB

=b

, SC⃗=c⃗

SC

=c

.

Do ABCD là hình bình hành, ta có SD⃗=SB⃗+BD⃗

SD

=SB

+BD

.

Ta biết BD⃗=BA⃗+AD⃗=−a⃗+AD⃗

BD

=BA

+AD

=−a

+AD

.

Và AD⃗=BC⃗=c⃗−b⃗

AD

=BC

=c

−b

.

Vậy SD⃗=b⃗+(−a⃗+c⃗−b⃗)=c⃗−a⃗

SD

=b

+(−a

+c

−b

)=c

−a

.

M là trung điểm của SC, nên SM⃗=12SC⃗=12c⃗

SM

=2

1

​SC

=2

1

​c

.

Điểm I nằm trên đường thẳng AM, do đó AI⃗=kAM⃗

AI

=kAM

với k

k là một số vô hướng.

Ta có SI⃗−SA⃗=k(SM⃗−SA⃗)

SI

−SA

=k(SM

−SA

).

SI⃗=SA⃗+k(SM⃗−SA⃗)

SI

=SA

+k(SM

−SA

)

SI⃗=a⃗+k(12c⃗−a⃗)

SI

=a

+k(2

1

​c

−a

)

SI⃗=(1−k)a⃗+k2c⃗

SI

=(1−k)a

+2

k

​c

.

Mặt phẳng (SBD) chứa S, B, D. Bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng này đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của SB⃗

SB

và SD⃗

SD

(với S là gốc).

Vậy SI⃗=pSB⃗+qSD⃗

SI

=pSB

+qSD

với p,q

p,q là các số vô hướng.

Thay SB⃗=b⃗

SB

=b

và SD⃗=c⃗−a⃗

SD

=c

−a

vào:

SI⃗=pb⃗+q(c⃗−a⃗)

SI

=pb

+q(c

−a

)

SI⃗=−qa⃗+pb⃗+qc⃗

SI

=−qa

+pb

+qc

.

Bây giờ, ta đồng nhất hai biểu thức của SI⃗

SI

:

(1−k)a⃗+k2c⃗=−qa⃗+pb⃗+qc⃗

(1−k)a

+2

k

​c

=−qa

+pb

+qc

.

Vì a⃗,b⃗,c⃗

a

,b

,c

không đồng phẳng (vì chúng tạo thành hình chóp S.ABCD), ta có thể đồng nhất các hệ số của chúng:

Hệ số của a⃗

a

: 1−k=−q

1−k=−q (1)

Hệ số của b⃗

b

: 0=p

0=p (2)

Hệ số của c⃗

c

: k2=q

2

k

​=q (3)

Từ phương trình (2), ta có p=0

p=0.

Từ phương trình (3), ta có q=k2

q=2

k

​.

Thay q=k2

q=2

k

​ vào phương trình (1):

1−k=−k2

1−k=−2

k

​

1=k−k2

1=k−2

k

​

1=k2

1=2

k

​

k=2

k=2.

Ta có AI⃗=kAM⃗

AI

=kAM

với k=2

k=2.

Suy ra AI⃗=2AM⃗

AI

=2AM

.

Điều này có nghĩa là điểm M nằm trên đoạn AI và M là trung điểm của đoạn AI.

Do đó, AM=MI

AM=MI.

Ta cần tính tỉ số IAIM

IM

IA

​.

Độ dài IA=AM+MI=AM+AM=2AM

IA=AM+MI=AM+AM=2AM.

Độ dài IM=AM

IM=AM.

Vậy, IAIM=2AMAM=2

IM

IA

​=AM

2AM

​=2.

Tỷ số IAIM

IM

IA

​ là 2.

ôi troi ôi , tui thấy bạn cần giải nên tui gửi cho AI giải dùm bạn , sao mà khó dữ