Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là các trọng tâm của tam giác BCD và ACD. Biết G1G2=kAB khi đó k bằng

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về trọng tâm của tam giác và tính chất của tứ diện. 1. Trọng tâm của tam giác: - Trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, với đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến. 2. Xác định trọng tâm \( G_1 \) và \( G_2 \): - \( G_1 \) là trọng tâm của tam giác \( BCD \). - \( G_2 \) là trọng tâm của tam giác \( ACD \). 3. Tính toán: - Để tìm \( G_1G_2 \), ta cần biểu diễn các trọng tâm này theo các vector. - Giả sử \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} \) là các vector vị trí của các điểm \( A, B, C, D \). - Trọng tâm \( G_1 \) của tam giác \( BCD \) có tọa độ: \[ \vec{G_1} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{3} \] - Trọng tâm \( G_2 \) của tam giác \( ACD \) có tọa độ: \[ \vec{G_2} = \frac{\vec{A} + \vec{C} + \vec{D}}{3} \] 4. Tính vector \( \vec{G_1G_2} \): - Vector \( \vec{G_1G_2} \) được tính bằng: \[ \vec{G_1G_2} = \vec{G_2} - \vec{G_1} = \left(\frac{\vec{A} + \vec{C} + \vec{D}}{3}\right) - \left(\frac{\vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{3}\right) \] - Rút gọn biểu thức: \[ \vec{G_1G_2} = \frac{\vec{A} - \vec{B}}{3} \] 5. Tính độ dài \( G_1G_2 \): - Độ dài \( G_1G_2 \) là: \[ G_1G_2 = \left|\frac{\vec{A} - \vec{B}}{3}\right| = \frac{1}{3} |\vec{A} - \vec{B}| \] 6. So sánh với \( kAB \): - Theo đề bài, \( G_1G_2 = k \cdot AB \). - Do đó, ta có: \[ \frac{1}{3} |\vec{A} - \vec{B}| = k \cdot |\vec{A} - \vec{B}| \] - Suy ra: \[ k = \frac{1}{3} \] Vậy, giá trị của \( k \) là \( \frac{1}{3} \).