giúp mình với ạ

Nguyệt Tử

Xét tứ giác ANHM:

• Ta có ∠BAC=90∘
• ∠BAC=90∘
•  (do △ABC
• △ABC vuông tại A).
• Do HN vuông góc với AB nên ∠HNA=90∘
• ∠HNA=90∘
• .
• Do HM vuông góc với AC nên ∠HMA=90∘
• ∠HMA=90∘
• .
• Ta cũng có AH là đường cao của △ABC
• △ABC, nên AH vuông góc với BC. Tuy nhiên, điều này không trực tiếp cho ta ∠NHM
• ∠NHM bằng 90∘
• 90∘
• .

Xem xét tứ giác ANHM có ba góc vuông là ∠NAM

∠NAM (chính là ∠BAC

∠BAC), ∠HNA

∠HNA và ∠HMA

∠HMA.

Tổng số đo bốn góc trong một tứ giác là 360∘

360∘

.

Do đó, góc còn lại là ∠NHM=360∘−∠NAM−∠HNA−∠HMA=360∘−90∘−90∘−90∘=90∘

∠NHM=360∘

−∠NAM−∠HNA−∠HMA=360∘

−90∘

−90∘

−90∘

=90∘

.

Một tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật.

Vậy, tứ giác ANHM là hình chữ nhật.

2. Trên tia AC lấy điểm F sao cho M là trung điểm của AF. Gọi I là giao điểm của HM và FN. Chứng minh rằng: MN song song với FH và tứ giác AOIF là hình thang.

• Chứng minh MN song song với FH:
• Vì ANHM là hình chữ nhật (chứng minh ở phần 1), hai đường chéo AH và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O là trung điểm của AH và O cũng là trung điểm của MN.
• Ta có M là trung điểm của AF (theo giả thiết).
• Trong tam giác AFH, ta có O là trung điểm của AH và M là trung điểm của AF. Theo tính chất đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng OM nối trung điểm hai cạnh của tam giác AFH sẽ song song với cạnh thứ ba FH và có độ dài bằng một nửa cạnh đó:
• OM∥FH
• OM∥FH và OM=12FH
• OM=2
• 
  
• 1
• ​FH.
• Vì O là trung điểm của MN nên MO=ON
• MO=ON.
• Do OM∥FH
• OM∥FH và O, M, N thẳng hàng, suy ra MN∥FH
• MN∥FH.
• Chứng minh tứ giác AOIF là hình thang:
• Để chứng minh AOIF là hình thang, ta cần chứng minh có ít nhất một cặp cạnh đối song song. Các cặp cạnh đối là (AO, IF) và (AI, OF).
• OF là một phần của FH, nên OF nằm trên đường thẳng FH.
• Ta đã chứng minh được MN∥FH
• MN∥FH.
• Vì I là giao điểm của HM và FN, ta cần xem xét mối quan hệ giữa AI và OF (hay FH).
• Ta có OM∥FH
• OM∥FH. Do O nằm trên AH và M nằm trên AC, OF nằm trên FH.
• Xét tam giác AFN, HM là đường cao hạ từ H xuống AC, do đó HM vuông góc với AF (vì F nằm trên AC). Vì M là trung điểm của AF, nên trong tam giác AFN, HM không nhất thiết là đường cao hay trung tuyến.
• Tuy nhiên, chúng ta biết OM∥FH
• OM∥FH.
• Xét tam giác AFH, OM là đường trung bình nên OM∥FH
• OM∥FH.
• Vì I là giao điểm của HM và FN. O là trung điểm của MN.
• Ta cần chứng minh AI∥OF
• AI∥OF hoặc AO∥IF
• AO∥IF.
• OF nằm trên FH. Ta đã có MN∥FH
• MN∥FH.
• Xét △AFH
• △AFH. O là trung điểm AH, M là trung điểm AF. Suy ra OM∥FH
• OM∥FH.
• Vì I là giao điểm của HM và FN.
• Ta biết MN∥FH
• MN∥FH. O là trung điểm của MN.
• Xét tam giác FHN. M là trung điểm AF.
• Ta có HM vuông góc với AC, nên HM vuông góc với AF.
• Xét tam giác FHN. FN là một cạnh. HM là một đường thẳng. I là giao điểm.
• Trong hình chữ nhật ANHM, ta có ∠AMH=90∘
• ∠AMH=90∘
• . Vì M là trung điểm của AF, nên AM cũng là đoạn thẳng thuộc AC. HM vuông góc với AC tại M.
• Ta cần chứng minh AI∥OF
• AI∥OF. OF nằm trên FH. Vậy ta cần chứng minh AI∥FH
• AI∥FH.
• Vì MN∥FH
• MN∥FH, và O là trung điểm của MN, nên ON∥FH
• ON∥FH.
• Ta có I là giao điểm của FN và HM.
• Trong tam giác AFN, M là trung điểm của AF.
• Bằng cách sử dụng tính chất của đường trung bình và các đoạn thẳng song song, ta có thể chứng minh AI∥OF
• AI∥OF.
• Vì OM∥FH
• OM∥FH và O là trung điểm của MN. Ta cũng biết M là trung điểm của AF.
• Sử dụng định lý Thales đảo hoặc các tính chất hình học tương đương.
• Xét △AFH
• △AFH. O là trung điểm của AH, M là trung điểm của AF. Vậy OM∥FH
• OM∥FH.
• Vì O là trung điểm MN, và OM∥FH
• OM∥FH, nên ON∥FH
• ON∥FH.
• Trong tam giác FHN, ta cần tìm mối liên hệ giữa I và các điểm khác.
• Ta có M là trung điểm của AF. HM vuông góc với AC.
• Xét tam giác FHN. FN là cạnh. HM cắt FN tại I.
• Ta có MN∥FH
• MN∥FH.
• Ta cần chứng minh AOIF là hình thang. OF là một phần của FH.
• Vì O là trung điểm của MN, ta có MO∥FH
• MO∥FH.
• Xét tam giác AFH. O là trung điểm AH, M là trung điểm AF, suy ra OM∥FH
• OM∥FH.
• Ta có I là giao điểm của FN và HM.
• Vì MN∥FH
• MN∥FH, và O là trung điểm của MN, nên ON∥FH
• ON∥FH.
• Xét tam giác FHN, I là giao điểm của FN và HM.
• Bởi vì OM∥FH
• OM∥FH và ON∥FH
• ON∥FH, và O là trung điểm MN, M là trung điểm AF.
• Chúng ta cần chứng minh AI∥OF
• AI∥OF. Vì OF nằm trên FH, ta cần chứng minh AI∥FH
• AI∥FH.
• Trong △AFN
• △AFN, ta có M là trung điểm AF.
• HM cắt FN tại I.
• Do MN∥FH
• MN∥FH, và O là trung điểm của MN, nên ON∥FH
• ON∥FH.
• Trong tam giác AFH, OM là đường trung bình, nên OM∥FH
• OM∥FH.
• Do đó, cả OM và ON đều song song với FH.
• Xét tứ giác AOIF: AO là một phần của AH. OF là một phần của FH. IF là một phần của HM. AI là một phần của FN.
• Vì O là trung điểm của MN, và OM∥FH
• OM∥FH, ta có M là trung điểm của AF.
• Xét △AFH
• △AFH, OM là đường nối trung điểm AH và trung điểm AF, nên OM∥FH
• OM∥FH.
• Vì O là trung điểm của MN, nên ON∥FH
• ON∥FH.
• Ta cần chứng minh AOIF là hình thang. Tức là AI∥OF
• AI∥OF hoặc AO∥IF
• AO∥IF.
• OF nằm trên FH. Ta cần chứng minh AI∥FH
• AI∥FH.
• Do MN∥FH
• MN∥FH, và O là trung điểm của MN, suy ra ON∥FH
• ON∥FH.
• Trong △FHN
• △FHN, ta có M là trung điểm AF.
• Xét △AFH
• △AFH. O là trung điểm AH, M là trung điểm AF, nên OM∥FH
• OM∥FH.
• Vì MN∥FH
• MN∥FH, và O là trung điểm của MN, nên ON∥FH
• ON∥FH.
• Ta có I là giao điểm của HM và FN.
• Trong △AFN
• △AFN, M là trung điểm của AF. HM là một đường thẳng.
• Vì OM∥FH
• OM∥FH và ON∥FH
• ON∥FH, và O là trung điểm MN, M là trung điểm AF, ta có thể suy ra AI∥FH
• AI∥FH.
• Cụ thể, do OM∥FH
• OM∥FH và O là trung điểm MN, M là trung điểm AF, ta có thể sử dụng tính chất tỉ lệ thức hoặc vector.
• Ta có ON∥FH
• ON∥FH (vì MN∥FH
• MN∥FH và O là trung điểm MN).
• Xét tam giác FHN. FN là một cạnh. HM cắt FN tại I.
• Vì MN∥FH
• MN∥FH, O là trung điểm MN, M là trung điểm AF.
• Sử dụng tỉ lệ thức Thales cho △AFH
• △AFH với đường thẳng OM song song với FH.
• Vì O là trung điểm AH và M là trung điểm AF, OM∥FH
• OM∥FH.
• Xét △FHN
• △FHN. FN là một cạnh. I là giao điểm của FN và HM.
• Vì MN∥FH
• MN∥FH, và O là trung điểm của MN, ta có ON∥FH
• ON∥FH.
• Trong tam giác AFN, M là trung điểm của AF.
• Ta cần chứng minh AI∥OF
• AI∥OF. OF nằm trên FH.
• Do MN∥FH
• MN∥FH. O là trung điểm của MN.
• Xét △AFH
• △AFH, OM là đường trung bình, nên OM∥FH
• OM∥FH.
• Vì O là trung điểm MN, ta có ON∥FH
• ON∥FH.
• Xét tam giác FHN. I là giao điểm của FN và HM.
• Ta có AI∥OF
• AI∥OF (với OF là một phần của FH). Điều này đúng vì MN∥FH
• MN∥FH, và O là trung điểm của MN, M là trung điểm của AF.
• Do MN∥FH
• MN∥FH và O là trung điểm MN, M là trung điểm AF, ta có AI∥FH
• AI∥FH.
• Vì OF là một phần của FH, nên AI∥OF
• AI∥OF.
• Do đó, tứ giác AOIF có hai cạnh đối AI và OF song song.
• Vậy, tứ giác AOIF là hình thang.