giải chi tiết giúp e với ạ

Bài 10: a) Ta có \( f(x) = x^4 - x^3 + 6x^2 - x + a \) Ta có \( g(x) = x^2 - x + 5 \) Ta thực hiện phép chia đa thức \( f(x) \) cho \( g(x) \): \( f(x) = (x^2 - x + 5)(x^2 + 0x + 1) + (-4x + a - 5) \) Để \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \), ta cần \( -4x + a - 5 = 0 \) Từ đây, ta có \( a - 5 = 0 \) Do đó, \( a = 5 \) b) Ta có \( f(x) = ax^3 + bx^2 + 10x - 4 \) Ta có \( g(x) = x^2 + x - 2 \) Ta thực hiện phép chia đa thức \( f(x) \) cho \( g(x) \): \( f(x) = (x^2 + x - 2)(ax + b) + (cx + d) \) Để \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \), ta cần \( cx + d = 0 \) Từ đây, ta có \( c = 0 \) và \( d = 0 \) Do đó, \( f(x) = (x^2 + x - 2)(ax + b) \) So sánh hệ số của \( x^3 \), \( x^2 \), \( x \) và hằng số, ta có: \( a = 2 \) \( b = -4 \) Vậy, \( a = 2 \) và \( b = -4 \) Bài 11: Để tìm giá trị nguyên của \( n \) sao cho biểu thức \( 2n^3 + n^2 + 2n + 4 \) chia hết cho \( 2n + 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức \( 2n^3 + n^2 + 2n + 4 \) cho \( 2n + 1 \). Ta có: \[ 2n^3 + n^2 + 2n + 4 = (2n + 1)(n^2) + (n^2 + 2n + 4) \] Tiếp tục chia \( n^2 + 2n + 4 \) cho \( 2n + 1 \): \[ n^2 + 2n + 4 = (2n + 1)\left(\frac{n}{2}\right) + \left(2n + 4 - \frac{n}{2}\right) \] \[ = (2n + 1)\left(\frac{n}{2}\right) + \left(\frac{4n + 8 - n}{2}\right) \] \[ = (2n + 1)\left(\frac{n}{2}\right) + \left(\frac{3n + 8}{2}\right) \] Do đó: \[ 2n^3 + n^2 + 2n + 4 = (2n + 1)\left(n^2 + \frac{n}{2}\right) + \frac{3n + 8}{2} \] Bước 2: Để \( 2n^3 + n^2 + 2n + 4 \) chia hết cho \( 2n + 1 \), phần dư \( \frac{3n + 8}{2} \) phải bằng 0: \[ \frac{3n + 8}{2} = 0 \] \[ 3n + 8 = 0 \] \[ 3n = -8 \] \[ n = -\frac{8}{3} \] Vì \( n \) phải là số nguyên, nên \( n = -\frac{8}{3} \) không thỏa mãn. Bước 3: Kiểm tra các giá trị nguyên gần nhất xung quanh \( n = -\frac{8}{3} \): - Khi \( n = -3 \): \[ 2(-3)^3 + (-3)^2 + 2(-3) + 4 = 2(-27) + 9 - 6 + 4 = -54 + 9 - 6 + 4 = -47 \] \[ 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \] \[ -47 \div -5 = 9.4 \] (không chia hết) - Khi \( n = -2 \): \[ 2(-2)^3 + (-2)^2 + 2(-2) + 4 = 2(-8) + 4 - 4 + 4 = -16 + 4 - 4 + 4 = -12 \] \[ 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 \] \[ -12 \div -3 = 4 \] (chia hết) - Khi \( n = -1 \): \[ 2(-1)^3 + (-1)^2 + 2(-1) + 4 = 2(-1) + 1 - 2 + 4 = -2 + 1 - 2 + 4 = 1 \] \[ 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 \] \[ 1 \div -1 = -1 \] (chia hết) - Khi \( n = 0 \): \[ 2(0)^3 + (0)^2 + 2(0) + 4 = 4 \] \[ 2(0) + 1 = 1 \] \[ 4 \div 1 = 4 \] (chia hết) - Khi \( n = 1 \): \[ 2(1)^3 + (1)^2 + 2(1) + 4 = 2 + 1 + 2 + 4 = 9 \] \[ 2(1) + 1 = 3 \] \[ 9 \div 3 = 3 \] (chia hết) - Khi \( n = 2 \): \[ 2(2)^3 + (2)^2 + 2(2) + 4 = 2(8) + 4 + 4 + 4 = 16 + 4 + 4 + 4 = 28 \] \[ 2(2) + 1 = 5 \] \[ 28 \div 5 = 5.6 \] (không chia hết) - Khi \( n = 3 \): \[ 2(3)^3 + (3)^2 + 2(3) + 4 = 2(27) + 9 + 6 + 4 = 54 + 9 + 6 + 4 = 73 \] \[ 2(3) + 1 = 7 \] \[ 73 \div 7 = 10.428 \] (không chia hết) Vậy các giá trị nguyên của \( n \) để \( 2n^3 + n^2 + 2n + 4 \) chia hết cho \( 2n + 1 \) là: \[ n = -2, -1, 0, 1 \] Bài 12: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh: Tứ giác AECF là hình bình hành. Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. - Vì E là trung điểm của AB, nên \( \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \). - Vì F là trung điểm của CD, nên \( \overrightarrow{CF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \). Trong hình bình hành ABCD, ta có \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \). Do đó, \( \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CF} \). Tương tự, ta có \( \overrightarrow{EC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \) và \( \overrightarrow{AF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} \). Vì \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) và \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \), nên \( \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AF} \). Vậy, tứ giác AECF có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó AECF là hình bình hành. b) Chứng minh: Tứ giác EMFN là hình bình hành. Để chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. - Xét tam giác ACD, E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên EF là đường trung bình của tam giác ACD. Do đó, EF song song với AC và \( EF = \frac{1}{2} AC \). - Tương tự, trong tam giác BCD, M và N lần lượt là trung điểm của AF và CE, nên MN là đường trung bình của tam giác BCD. Do đó, MN song song với BD và \( MN = \frac{1}{2} BD \). Vì EF song song với AC và MN song song với BD, mà AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, EF và MN cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy, tứ giác EMFN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó EMFN là hình bình hành. c) Chứng minh: AC, EF, MN đồng quy. Từ phần b, ta đã chứng minh rằng EF và MN là các đường trung bình của các tam giác liên quan và song song với các đường chéo của hình bình hành ABCD. Do đó, EF và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì AC là đường chéo của hình bình hành ABCD, nên nó cũng cắt EF và MN tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, AC, EF, và MN đồng quy tại điểm này. d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác AECF là hình chữ nhật. Để tứ giác AECF là hình chữ nhật, các góc của nó phải là góc vuông. - Ta đã biết AECF là hình bình hành, do đó chỉ cần một góc vuông là đủ để nó trở thành hình chữ nhật. - Xét góc \( \angle AEC \), để góc này là góc vuông, ta cần \( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EC} = 0 \). - Vì \( \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{EC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \), điều kiện để \( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EC} = 0 \) là \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \). Điều này có nghĩa là AB vuông góc với BC, tức là hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật. Vậy, điều kiện để tứ giác AECF là hình chữ nhật là hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật. Bài 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác BNDM là hình bình hành. Để chứng minh tứ giác BNDM là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song hoặc bằng nhau. 1. Xét hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật ABCD cắt nhau tại O. Do đó, O là trung điểm của cả AC và BD. 2. Vì M nằm trên CD và N nằm trên AB, ta có: - MO cắt AB tại N. 3. Do O là trung điểm của AC và BD, ta có: - OA = OC và OB = OD. 4. Xét hai tam giác OMB và OND: - OM = ON (vì M và N nằm trên các đường thẳng song song CD và AB, và O là trung điểm của BD). - OB = OD (vì O là trung điểm của BD). - Góc OMB = góc OND (vì hai góc này là góc đối đỉnh). 5. Từ các điều trên, ta có tam giác OMB bằng tam giác OND (cạnh-góc-cạnh). 6. Do đó, MB = ND và MB // ND (vì hai tam giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau). 7. Từ đó, tứ giác BNDM có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên BNDM là hình bình hành. b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại E, qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F. Chứng minh O là trung điểm EF. 1. Do ME // AC và NF // AC, nên ME // NF. 2. Xét hai tam giác OME và ONF: - ME // NF và O là trung điểm của AC, nên O cũng là trung điểm của EF. 3. Do đó, O là trung điểm của EF. c) Chứng minh: 3 đường thẳng AC, MN, EF đồng quy. 1. Từ phần b, ta đã chứng minh O là trung điểm của EF. 2. O cũng là giao điểm của AC và BD, và là trung điểm của cả AC và BD. 3. Đường thẳng MN đi qua O (vì MO cắt AB tại N). 4. Do đó, ba đường thẳng AC, MN, và EF đều đi qua điểm O. 5. Vậy, ba đường thẳng AC, MN, EF đồng quy tại O. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán. Bài 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác AMNQ là hình chữ nhật Để chứng minh tứ giác AMNQ là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có ba góc vuông. 1. Chứng minh AMNQ có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau: - Vì M, N, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC nên: - \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), do đó \( MN \parallel AC \) và \( MN = \frac{1}{2}AC \). - \( MQ \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), do đó \( MQ \parallel AB \) và \( MQ = \frac{1}{2}AB \). 2. Chứng minh AMNQ có một góc vuông: - Xét tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta có \( \angle BAC = 90^\circ \). - Vì \( MN \parallel AC \) và \( MQ \parallel AB \), nên \( \angle AMQ = 90^\circ \). Vì tứ giác AMNQ có hai cặp cạnh đối song song và một góc vuông, nên AMNQ là hình chữ nhật. b) Chứng minh \( AK \parallel MQ \) - Do \( AK \) song song với \( BC \) (theo giả thiết), và \( MQ \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \) nên \( MQ \parallel AB \). - Vì \( AB \parallel BC \) (do tam giác vuông tại A), nên \( AK \parallel MQ \). c) Chứng minh tứ giác INQM là hình thang cân 1. Chứng minh INQM là hình thang: - Ta đã có \( MQ \parallel AB \) và \( AB \parallel BC \), do đó \( MQ \parallel IN \). 2. Chứng minh INQM cân: - Vì \( M \) và \( Q \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \) tương ứng, nên \( MQ = \frac{1}{2}AB \). - Tương tự, \( IN = \frac{1}{2}BC \). - Do \( AB = AC \) (vì tam giác vuông cân tại A), nên \( MQ = IN \). Vậy tứ giác INQM là hình thang cân. d) Chứng minh \( MI \) vuông góc với \( QI \) - Xét tam giác vuông \( AIB \) tại \( I \), ta có \( AI \perp BC \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( MI \) là đường trung tuyến của tam giác vuông \( AIB \), do đó \( MI \perp BI \). - Tương tự, \( QI \) là đường trung tuyến của tam giác vuông \( AIC \), nên \( QI \perp CI \). Vì \( MI \perp BI \) và \( QI \perp CI \), mà \( BI \parallel CI \) (vì \( I \) là điểm chung), nên \( MI \perp QI \). Vậy, \( MI \) vuông góc với \( QI \). Bài 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác MBCP là hình chữ nhật. - Ta có M là trung điểm của AB, do đó AM = MB. - P là trung điểm của CD, do đó CP = PD. - Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AD // BC. - Do đó, MB // CP và MB = CP. - Tứ giác MBCP có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó MBCP là hình bình hành. - Trong hình bình hành MBCP, ta có MB // CP và MB = CP, nên MBCP là hình chữ nhật. b) Chứng minh MN vuông góc với AC. - Ta có H là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC, do đó BH ⊥ AC. - M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AH. - Xét tam giác ABH, MN là đường trung bình của tam giác này, do đó MN // BH. - Vì BH ⊥ AC, nên MN cũng vuông góc với AC. c) Kẻ NK song song với AB (với K thuộc BH). Chứng minh \(NP = CK\). - Ta có NK // AB và K thuộc BH. - Vì NK // AB và M là trung điểm của AB, nên NK là đường trung bình của tam giác ABH. - Do đó, NK = \(\frac{1}{2}\)AB. - P là trung điểm của CD, do đó NP là đường trung bình của tam giác CHD. - Do đó, NP = \(\frac{1}{2}\)CD. - Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AB = CD. - Do đó, NP = NK. - Vì K thuộc BH và NK // AB, nên CK = NP. d) Chứng minh \(PNB = 90^0\). - Ta đã chứng minh MN ⊥ AC trong phần b. - Do đó, MN ⊥ BH vì BH ⊥ AC. - Vì N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD, nên NP là đường trung bình của tam giác CHD. - Do đó, NP // BH. - Vì MN ⊥ BH và NP // BH, nên góc PNB = 90°. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.