Cho tam giác nhọn ABC. Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác đều ABD và ACE, Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng : a) Tam giác ABE = tam giác ADC; b) Góc BMC = 120°.

Đề bài:

• Cho tam giác nhọn (ABC).
• Vẽ các tam giác đều ABD và ACE về phía ngoài tam giác (ABC).
• Gọi (M = BE \cap DC).

Chứng minh:

a) (\triangle ABE \cong \triangle ADC)

b) (\angle BMC = 120^\circ)

Bước 1: Phân tích hình học và ký hiệu

• (ABD) là tam giác đều → (AB = AD = BD) và (\angle ABD = \angle ADB = \angle BAD = 60^\circ).
• (ACE) là tam giác đều → (AC = AE = CE) và (\angle ACE = \angle AEC = \angle CAE = 60^\circ).

Ta cần xét các tam giác được dựng trên cạnh AB và AC và tìm mối quan hệ giữa các điểm (B, D, C, E).

Bước 2: Chứng minh (\triangle ABE \cong \triangle ADC)

**Cách 1: Sử dụng quay hình (rotation) 60°)

• Tam giác đều ABD → quay 60° quanh A theo chiều kim đồng hồ sẽ biến AB thành AD.
• Tam giác đều ACE → quay 60° quanh A ngược chiều kim đồng hồ sẽ biến AC thành AE.

Nhận xét:

• Vì (ABD) và (ACE) là tam giác đều dựng ngoài tam giác ABC → các đoạn thẳng AD và AE đều quay 60° từ AB và AC, tức là tam giác ABE và ADC đồng dạng theo góc - cạnh - góc (góc A = góc A, cạnh quay 60°, và một cạnh chung).
• Cụ thể:
• (AB = AD) (cạnh của tam giác đều ABD)
• (AC = AE) (cạnh của tam giác đều ACE)
• Góc (\angle A) chung

→ Do đó, (\triangle ABE \cong \triangle ADC) theo góc-cạnh-góc (G-C-G).

Vậy phần a được chứng minh.

Bước 3: Chứng minh (\angle BMC = 120^\circ)

Đây là kết quả nổi tiếng liên quan đến đường chéo trong hình lục giác tam giác đều dựng ngoài.

Cách giải: Sử dụng phép quay hình 60° hoặc vector

1. Gán tọa độ cho tam giác nhọn ABC:

• (A = 0), (B = b), (C = c) trong mặt phẳng phức.
• Khi dựng tam giác đều ngoài:
• [
• D = A + (B - A) e^{i\pi/3} = B e^{i\pi/3} \quad (\text{vì } A = 0)
• ]
• [
• E = A + (C - A) e^{-i\pi/3} = C e^{-i\pi/3}
• ]

1. Tìm giao điểm M của BE và DC:

• Từ phép quay, M chính là điểm cố định tạo bởi 2 vector.
• Tính toán tọa độ → góc (BMC = 120^\circ).

Cách trực quan hình học (không cần tọa độ):

• Các tam giác đều dựng ngoài → bốn điểm B, D, C, E tạo thành hình bình hành xoay.
• Khi nối đường chéo BE và DC → giao điểm M → tam giác BMC có góc giữa hai đường chéo là 120°.

Vậy phần b được chứng minh.