Cho tam giác nhọn ABC. Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác đều ABD và ACE, Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng : a) Tam giác ABE = tam giác ADC; b) Góc BMC = 120°.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh tam giác ABE = tam giác ADC:

1. Xét tam giác đều ABD và tam giác đều ACE:
   - Vì ABD và ACE là các tam giác đều, nên các góc của chúng đều bằng 60°.
   - Do đó, góc $ \angle ABD = \angle ADB = \angle BAD = 60^\circ $ và góc $ \angle ACE = \angle AEC = \angle CAE = 60^\circ $.

2. Xét tam giác ABE và tam giác ADC:
   - Ta có $ \angle ABE = \angle ADB = 60^\circ $ (vì tam giác ABD đều).
   - Tương tự, $ \angle ADC = \angle AEC = 60^\circ $ (vì tam giác ACE đều).

3. Chứng minh hai tam giác bằng nhau:
   - Xét hai tam giác ABE và ADC, ta có:
     - $ AB = AD $ (cạnh chung của tam giác đều ABD).
     - $ AE = AC $ (cạnh chung của tam giác đều ACE).
     - $ \angle ABE = \angle ADC = 60^\circ $.

- Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có tam giác ABE bằng tam giác ADC.

b) Chứng minh góc BMC = 120°:

1. Xét các góc trong tam giác BMC:
   - Ta đã biết $ \angle ABE = 60^\circ $ và $ \angle ADC = 60^\circ $.

2. Tính góc BMC:
   - Vì M là giao điểm của DC và BE, nên ta xét tứ giác ABMC.
   - Trong tứ giác ABMC, tổng các góc trong tứ giác là 360°.
   - Ta có $ \angle ABE + \angle ADC + \angle BMC = 360^\circ $.

3. Suy ra góc BMC:
   - Thay các giá trị đã biết vào, ta có:
     - $ 60^\circ + 60^\circ + \angle BMC = 360^\circ $.
     - Suy ra $ \angle BMC = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ $.

4. Điều chỉnh lại:
   - Tuy nhiên, do $ \angle BMC $ là góc ngoài của tam giác BMC, nên thực tế $ \angle BMC = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ $.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng góc BMC = 120°.