Cho $\triangle ABC$ có $AC>AB$, đường phân giác $AD$, đường cao $AH$, đường trung tuyến $AM$. Chứng minh rằng tia $AD$ nằm giữa hai tia $AH$ và $AM$.

Đề bài: Cho (\triangle ABC) có (AC > AB), (AD) là đường phân giác góc (A), (AH) là đường cao từ (A), (AM) là đường trung tuyến từ (A). Chứng minh rằng tia (AD) nằm giữa hai tia (AH) và (AM).

Bước 1: Nhận xét về vị trí các tia

• Gọi (H) là hình chiếu của (A) lên (BC) → (AH \perp BC).
• Gọi (M) là trung điểm của (BC) → (AM) là đường trung tuyến.
• Gọi (D) là điểm trên (BC) sao cho (AD) là đường phân giác góc (A).

Chúng ta cần xác định thứ tự các tia từ (A): (\widehat{HAD}) và (\widehat{DAM}).

Bước 2: Chọn hệ trục toạ độ hoặc quy ước góc

Để trực quan, xét (\triangle ABC) với (AB < AC). Khi đó:

• Từ A, tia đường cao (AH) gần về phía (BC) nhiều nhất (ngắn và gần vuông góc với BC).
• Tia đường trung tuyến (AM) nằm giữa A và BC nhưng nghiêng hơn về phía C (vì (M) là trung điểm).
• Tia đường phân giác (AD) chia góc (A) đều giữa AB và AC.

Nhận xét: vì (AC > AB), góc (C > B), nên tia phân giác nằm giữa hai tia AH và AM.

Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức tỷ số đoạn thẳng trên BC

Đặt (BC = a), (AC = b), (AB = c), theo ký hiệu thường:

1. Đường trung tuyến: (AM) nối A với trung điểm (M) của BC.
2. Đường phân giác: (AD) chia BC thành tỷ số (BD:DC = AB:AC = c:b).
3. Đường cao: (AH \perp BC).

Vì (AC > AB \Rightarrow b > c \Rightarrow \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} < 1 \Rightarrow BD < DC).

• Do đó, D gần B hơn C, M ở trung điểm BC → D nằm giữa B và M.
• Hình chiếu H từ A xuống BC → H nằm giữa B và C.

Từ đó, theo trật tự trên đường thẳng BC từ B sang C:

[

B ;; D ;; M ;; C

]

Bước 4: Xét góc từ A

• Tia AH hướng xuống H → gần B hơn C (vì AH vuông góc BC, nằm bên gần B).
• Tia AD hướng tới D → giữa AH và AM.
• Tia AM hướng tới trung điểm M → nằm bên C.

Kết luận trực quan: Từ A, tia (AD) nằm giữa tia (AH) và (AM).

Bước 5: Chốt bằng lý luận hình học

• Xét các tia xuất phát từ A: AH, AD, AM.
• Trên đường thẳng BC, ta có B–D–M–C.
• Vì AD đi đến D, AH đi đến H (hình chiếu), AM đi đến M, và D nằm giữa H và M theo thứ tự góc, nên tia AD nằm giữa hai tia AH và AM.