Cho phương trình $2x^2-4x-5=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức $a=\left(x_1+2x_2\right)\left(x_1-x_2\right)+3x_2^2$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = -\frac{5}{2} \] Ta cần tính giá trị của biểu thức \( a = (x_1 + 2x_2)(x_1 - x_2) + 3x_2^2 \). Bước 1: Khai triển biểu thức \( (x_1 + 2x_2)(x_1 - x_2) \): \[ (x_1 + 2x_2)(x_1 - x_2) = x_1^2 - x_1 x_2 + 2x_1 x_2 - 2x_2^2 \] \[ = x_1^2 + x_1 x_2 - 2x_2^2 \] Bước 2: Thay vào biểu thức \( a \): \[ a = x_1^2 + x_1 x_2 - 2x_2^2 + 3x_2^2 \] \[ = x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 \] Bước 3: Sử dụng \( x_1 + x_2 = 2 \) và \( x_1 x_2 = -\frac{5}{2} \): \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] \[ = 2^2 - 2 \left( -\frac{5}{2} \right) \] \[ = 4 + 5 \] \[ = 9 \] Bước 4: Thay vào biểu thức \( a \): \[ a = x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 \] \[ = 9 + \left( -\frac{5}{2} \right) \] \[ = 9 - \frac{5}{2} \] \[ = \frac{18}{2} - \frac{5}{2} \] \[ = \frac{13}{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( a \) là \( \frac{13}{2} \).