Biết rằng $x=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$ là một nghiệm của phương trình bậc hai: $x^2-5x-m=0$. Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình trên.

minhthu_

a, Vì $x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ là một nghiệm của phương trình, ta thay $x_1$ vào phương trình để tìm $m$:

$x_1^2 - 5x_1 - m = 0 \implies m = x_1^2 - 5x_1$

Ta có: $x_1^2 - 5x_1 = x_1 (x_1 - 5)$

$m = \left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2}\right) \left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2} - 5\right)$

$m = \left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2}\right) \left(\frac{5 + \sqrt{13} - 10}{2}\right)$

$m = \left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{13} - 5}{2}\right)$

$m = \frac{(\sqrt{13})^2 - 5^2}{4}$

$m = \frac{13 - 25}{4} = \frac{-12}{4}$

$m = -3$

Phương trình sau khi tìm được $m$ là: $x^2 - 5x - (-3) = 0$, hay $x^2 - 5x + 3 = 0$.

Áp dụng Định lý Viète, ta được:

$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$

$P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$

Ta có: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)$

$ = (x_1 + x_2) [(x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2]$

$= 5 . (5^2 - 3 . 3)$

$= 5 . (25 - 9)$

$= 5 . 16 = 80$