Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao AK và BD cắt nhau tại H. a) Chứng minh: 4 điểm H; D,C;K cùng thuộc một đường tròn (I). b) Gọi M là trung điểm của AB. Chúng mình: MD vuông góc DI...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh 4 điểm H, D, C, K cùng thuộc một đường tròn (I): Để chứng minh 4 điểm H, D, C, K cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác HDCK là tứ giác nội tiếp. - Xét tam giác ABC, ta có AK và BD là hai đường cao, do đó H là trực tâm của tam giác ABC. - Ta có góc \( \angle AHC = 180^\circ - \angle ACB \) (do H là trực tâm, nên \( \angle AHC \) là góc ngoài của tam giác AHB). - Tương tự, góc \( \angle BHD = 180^\circ - \angle BAC \). Vì \( \angle AHC + \angle BHD = 180^\circ - \angle ACB + 180^\circ - \angle BAC = 360^\circ - (\angle ACB + \angle BAC) = 180^\circ \), do đó tứ giác HDCK là tứ giác nội tiếp. b) Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh: MD vuông góc DI: - Vì M là trung điểm của AB, nên MA = MB. - Xét tam giác ABD, ta có D là chân đường cao từ B, do đó \( \angle ADB = 90^\circ \). - Vì M là trung điểm của AB, nên MD là đường trung tuyến của tam giác ABD. - Trong tam giác vuông ABD, đường trung tuyến MD ứng với cạnh huyền AB, do đó MD = MB = MA. Để chứng minh MD vuông góc với DI, ta cần chứng minh rằng DI là đường trung trực của đoạn thẳng MD. - Vì MD = MB = MA, nên M là trung điểm của AD. - Do đó, DI là đường trung trực của đoạn thẳng AD, và vì M là trung điểm của AD, nên DI vuông góc với MD. Vậy, MD vuông góc với DI. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.