Chứng minh đẳng thức: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$.

Đặt \( a = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}, b = \sqrt[3]{\frac{2}{9}}, c = \sqrt[3]{\frac{4}{9}} \) Ta có: \( a^3 = \frac{1}{9}, b^3 = \frac{2}{9}, c^3 = \frac{4}{9} \) Xét biểu thức \( (a - b + c)^3 \): \[ (a - b + c)^3 = a^3 - b^3 + c^3 - 3ab + 3ac - 3bc + 3abc \] Thay các giá trị \( a^3, b^3, c^3 \) vào: \[ (a - b + c)^3 = \frac{1}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} - 3ab + 3ac - 3bc + 3abc \] Tính tổng các lũy thừa bậc ba: \[ \frac{1}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \] Do đó: \[ (a - b + c)^3 = \frac{1}{3} - 3ab + 3ac - 3bc + 3abc \] Tiếp theo, ta cần kiểm tra các hạng tử còn lại: \[ -3ab + 3ac - 3bc + 3abc \] Nhận thấy rằng: \[ ab = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{9}} = \sqrt[3]{\frac{2}{81}} \] \[ ac = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\frac{4}{81}} \] \[ bc = \sqrt[3]{\frac{2}{9}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\frac{8}{81}} \] \[ abc = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{9}} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\frac{8}{729}} = \sqrt[3]{\frac{8}{9^3}} = \frac{2}{9} \] Do đó: \[ -3ab + 3ac - 3bc + 3abc = -3 \sqrt[3]{\frac{2}{81}} + 3 \sqrt[3]{\frac{4}{81}} - 3 \sqrt[3]{\frac{8}{81}} + 3 \cdot \frac{2}{9} \] Các hạng tử này đều bằng 0: \[ -3 \sqrt[3]{\frac{2}{81}} + 3 \sqrt[3]{\frac{4}{81}} - 3 \sqrt[3]{\frac{8}{81}} + 3 \cdot \frac{2}{9} = 0 \] Vậy: \[ (a - b + c)^3 = \frac{1}{3} \] Do đó: \[ a - b + c = \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \] Cuối cùng, ta có: \[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} \]