Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $20abc<30\left(ab+bc+ca\right)<21abc$.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các số nguyên tố a, b, c. 2. Thử các giá trị của a, b, c để kiểm tra điều kiện \(20abc < 30(ab + bc + ca) < 21abc\). Bước 1: Xác định các số nguyên tố a, b, c. Các số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... Bước 2: Thử các giá trị của a, b, c để kiểm tra điều kiện \(20abc < 30(ab + bc + ca) < 21abc\). Chúng ta sẽ thử các giá trị nhỏ nhất của các số nguyên tố: - Giả sử \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\): \(20 \times 2 \times 3 \times 5 = 600\) \(30 \times (2 \times 3 + 3 \times 5 + 5 \times 2) = 30 \times (6 + 15 + 10) = 30 \times 31 = 930\) \(21 \times 2 \times 3 \times 5 = 630\) Kiểm tra điều kiện: \(600 < 930 < 630\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 7\): \(20 \times 2 \times 3 \times 7 = 840\) \(30 \times (2 \times 3 + 3 \times 7 + 7 \times 2) = 30 \times (6 + 21 + 14) = 30 \times 41 = 1230\) \(21 \times 2 \times 3 \times 7 = 882\) \(840 < 1230 < 882\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 11\): \(20 \times 2 \times 3 \times 11 = 1320\) \(30 \times (2 \times 3 + 3 \times 11 + 11 \times 2) = 30 \times (6 + 33 + 22) = 30 \times 61 = 1830\) \(21 \times 2 \times 3 \times 11 = 1386\) \(1320 < 1830 < 1386\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 13\): \(20 \times 2 \times 3 \times 13 = 1560\) \(30 \times (2 \times 3 + 3 \times 13 + 13 \times 2) = 30 \times (6 + 39 + 26) = 30 \times 71 = 2130\) \(21 \times 2 \times 3 \times 13 = 1638\) \(1560 < 2130 < 1638\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 17\): \(20 \times 2 \times 3 \times 17 = 2040\) \(30 \times (2 \times 3 + 3 \times 17 + 17 \times 2) = 30 \times (6 + 51 + 34) = 30 \times 91 = 2730\) \(21 \times 2 \times 3 \times 17 = 2142\) \(2040 < 2730 < 2142\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 19\): \(20 \times 2 \times 3 \times 19 = 2280\) \(30 \times (2 \times 3 + 3 \times 19 + 19 \times 2) = 30 \times (6 + 57 + 38) = 30 \times 101 = 3030\) \(21 \times 2 \times 3 \times 19 = 2394\) \(2280 < 3030 < 2394\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 23\): \(20 \times 2 \times 3 \times 23 = 2760\) \(30 \times (2 \times 3 + 3 \times 23 + 23 \times 2) = 30 \times (6 + 69 + 46) = 30 \times 121 = 3630\) \(21 \times 2 \times 3 \times 23 = 2898\) \(2760 < 3630 < 2898\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 29\): \(20 \times 2 \times 3 \times 29 = 3480\) \(30 \times (2 \times 3 + 3 \times 29 + 29 \times 2) = 30 \times (6 + 87 + 58) = 30 \times 151 = 4530\) \(21 \times 2 \times 3 \times 29 = 3594\) \(3480 < 4530 < 3594\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 7\): \(20 \times 2 \times 5 \times 7 = 1400\) \(30 \times (2 \times 5 + 5 \times 7 + 7 \times 2) = 30 \times (10 + 35 + 14) = 30 \times 59 = 1770\) \(21 \times 2 \times 5 \times 7 = 1470\) \(1400 < 1770 < 1470\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 11\): \(20 \times 2 \times 5 \times 11 = 2200\) \(30 \times (2 \times 5 + 5 \times 11 + 11 \times 2) = 30 \times (10 + 55 + 22) = 30 \times 87 = 2610\) \(21 \times 2 \times 5 \times 11 = 2310\) \(2200 < 2610 < 2310\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 13\): \(20 \times 2 \times 5 \times 13 = 2600\) \(30 \times (2 \times 5 + 5 \times 13 + 13 \times 2) = 30 \times (10 + 65 + 26) = 30 \times 101 = 3030\) \(21 \times 2 \times 5 \times 13 = 2730\) \(2600 < 3030 < 2730\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 17\): \(20 \times 2 \times 5 \times 17 = 3400\) \(30 \times (2 \times 5 + 5 \times 17 + 17 \times 2) = 30 \times (10 + 85 + 34) = 30 \times 129 = 3870\) \(21 \times 2 \times 5 \times 17 = 3570\) \(3400 < 3870 < 3570\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 19\): \(20 \times 2 \times 5 \times 19 = 3800\) \(30 \times (2 \times 5 + 5 \times 19 + 19 \times 2) = 30 \times (10 + 95 + 38) = 30 \times 143 = 4290\) \(21 \times 2 \times 5 \times 19 = 3990\) \(3800 < 4290 < 3990\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 23\): \(20 \times 2 \times 5 \times 23 = 4600\) \(30 \times (2 \times 5 + 5 \times 23 + 23 \times 2) = 30 \times (10 + 115 + 46) = 30 \times 171 = 5130\) \(21 \times 2 \times 5 \times 23 = 4830\) \(4600 < 5130 < 4830\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 29\): \(20 \times 2 \times 5 \times 29 = 5800\) \(30 \times (2 \times 5 + 5 \times 29 + 29 \times 2) = 30 \times (10 + 145 + 58) = 30 \times 213 = 6390\) \(21 \times 2 \times 5 \times 29 = 6090\) \(5800 < 6390 < 6090\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = 11\): \(20 \times 2 \times 7 \times 11 = 3080\) \(30 \times (2 \times 7 + 7 \times 11 + 11 \times 2) = 30 \times (14 + 77 + 22) = 30 \times 113 = 3390\) \(21 \times 2 \times 7 \times 11 = 3234\) \(3080 < 3390 < 3234\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = 13\): \(20 \times 2 \times 7 \times 13 = 3640\) \(30 \times (2 \times 7 + 7 \times 13 + 13 \times 2) = 30 \times (14 + 91 + 26) = 30 \times 131 = 3930\) \(21 \times 2 \times 7 \times 13 = 3822\) \(3640 < 3930 < 3822\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = 17\): \(20 \times 2 \times 7 \times 17 = 4760\) \(30 \times (2 \times 7 + 7 \times 17 + 17 \times 2) = 30 \times (14 + 119 + 34) = 30 \times 167 = 5010\) \(21 \times 2 \times 7 \times 17 = 4788\) \(4760 < 5010 < 4788\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = 19\): \(20 \times 2 \times 7 \times 19 = 5320\) \(30 \times (2 \times 7 + 7 \times 19 + 19 \times 2) = 30 \times (14 + 133 + 38) = 30 \times 185 = 5550\) \(21 \times 2 \times 7 \times 19 = 5358\) \(5320 < 5550 < 5358\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = 23\): \(20 \times 2 \times 7 \times 23 = 6440\) \(30 \times (2 \times 7 + 7 \times 23 + 23 \times 2) = 30 \times (14 + 161 + 46) = 30 \times 221 = 6630\) \(21 \times 2 \times 7 \times 23 = 6442\) \(6440 < 6630 < 6442\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = 29\): \(20 \times 2 \times 7 \times 29 = 8120\) \(30 \times (2 \times 7 + 7 \times 29 + 29 \times 2) = 30 \times (14 + 203 + 58) = 30 \times 275 = 8250\) \(21 \times 2 \times 7 \times 29 = 8124\) \(8120 < 8250 < 8124\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 11\), \(c = 13\): \(20 \times 2 \times 11 \times 13 = 5720\) \(30 \times (2 \times 11 + 11 \times 13 + 13 \times 2) = 30 \times (22 + 143 + 26) = 30 \times 191 = 5730\) \(21 \times 2 \times 11 \times 13 = 5778\) \(5720 < 5730 < 5778\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 11\), \(c = 17\): \(20 \times 2 \times 11 \times 17 = 7480\) \(30 \times (2 \times 11 + 11 \times 17 + 17 \times 2) = 30 \times (22 + 187 + 34) = 30 \times 243 = 7290\) \(21 \times 2 \times 11 \times 17 = 7482\) \(7480 < 7290 < 7482\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 11\), \(c = 19\): \(20 \times 2 \times 11 \times 19 = 8360\) \(30 \times (2 \times 11 + 11 \times 19 + 19 \times 2) = 30 \times (22 + 209 + 38) = 30 \times 269 = 8070\) \(21 \times 2 \times 11 \times 19 = 8362\) \(8360 < 8070 < 8362\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 11\), \(c = 23\): \(20 \times 2 \times 11 \times 23 = 10120\) \(30 \times (2 \times 11 + 11 \times 23 + 23 \times 2) = 30 \times (22 + 253 + 46) = 30 \times 321 = 9630\) \(21 \times 2 \times 11 \times 23 = 10122\) \(10120 < 9630 < 10122\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 11\), \(c = 29\): \(20 \times 2 \times 11 \times 29 = 12760\) \(30 \times (2 \times 11 + 11 \times 29 + 29 \times 2) = 30 \times (22 + 319 + 58) = 30 \times 399 = 11970\) \(21 \times 2 \times 11 \times 29 = 12762\) \(12760 < 11970 < 12762\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 13\), \(c = 17\): \(20 \times 2 \times 13 \times 17 = 8840\) \(30 \times (2 \times 13 + 13 \times 17 + 17 \times 2) = 30 \times (26 + 221 + 34) = 30 \times 281 = 8430\) \(21 \times 2 \times 13 \times 17 = 8842\) \(8840 < 8430 < 8842\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 13\), \(c = 19\): \(20 \times 2 \times 13 \times 19 = 9880\) \(30 \times (2 \times 13 + 13 \times 19 + 19 \times 2) = 30 \times (26 + 247 + 38) = 30 \times 311 = 9330\) \(21 \times 2 \times 13 \times 19 = 9882\) \(9880 < 9330 < 9882\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 13\), \(c = 23\): \(20 \times 2 \times 13 \times 23 = 11960\) \(30 \times (2 \times 13 + 13 \times 23 + 23 \times 2) = 30 \times (26 + 299 + 46) = 30 \times 371 = 11130\) \(21 \times 2 \times 13 \times 23 = 11962\) \(11960 < 11130 < 11962\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 13\), \(c = 29\): \(20 \times 2 \times 13 \times 29 = 15080\) \(30 \times (2 \times 13 + 13 \times 29 + 29 \times 2) = 30 \times (26 + 377 + 58) = 30 \times 461 = 13830\) \(21 \times 2 \times 13 \times 29 = 15082\) \(15080 < 13830 < 15082\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 17\), \(c = 19\): \(20 \times 2 \times 17 \times 19 = 12920\) \(30 \times (2 \times 17 + 17 \times 19 + 19 \times 2) = 30 \times (34 + 323 + 38) = 30 \times 395 = 11850\) \(21 \times 2 \times 17 \times 19 = 12922\) \(12920 < 11850 < 12922\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 17\), \(c = 23\): \(20 \times 2 \times 17 \times 23 = 15640\) \(30 \times (2 \times 17 + 17 \times 23 + 23 \times 2) = 30 \times (34 + 391 + 46) = 30 \times 471 = 14130\) \(21 \times 2 \times 17 \times 23 = 15642\) \(15640 < 14130 < 15642\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 17\), \(c = 29\): \(20 \times 2 \times 17 \times 29 = 19720\) \(30 \times (2 \times 17 + 17 \times 29 + 29 \times 2) = 30 \times (34 + 493 + 58) = 30 \times 585 = 17550\) \(21 \times 2 \times 17 \times 29 = 19722\) \(19720 < 17550 < 19722\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 19\), \(c = 23\): \(20 \times 2 \times 19 \times 23 = 17480\) \(30 \times (2 \times 19 + 19 \times 23 + 23 \times 2) = 30 \times (38 + 437 + 46) = 30 \times 521 = 15630\) \(21 \times 2 \times 19 \times 23 = 17482\) \(17480 < 15630 < 17482\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 19\), \(c = 29\): \(20 \times 2 \times 19 \times 29 = 22040\) \(30 \times (2 \times 19 + 19 \times 29 + 29 \times 2) = 30 \times (38 + 551 + 58) = 30 \times 647 = 19410\) \(21 \times 2 \times 19 \times 29 = 22042\) \(22040 < 19410 < 22042\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 2\), \(b = 23\), \(c = 29\): \(20 \times 2 \times 23 \times 29 = 26680\) \(30 \times (2 \times 23 + 23 \times 29 + 29 \times 2) = 30 \times (46 + 667 + 58) = 30 \times 771 = 23130\) \(21 \times 2 \times 23 \times 29 = 26682\) \(26680 < 23130 < 26682\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 7\): \(20 \times 3 \times 5 \times 7 = 2100\) \(30 \times (3 \times 5 + 5 \times 7 + 7 \times 3) = 30 \times (15 + 35 + 21) = 30 \times 71 = 2130\) \(21 \times 3 \times 5 \times 7 = 2205\) \(2100 < 2130 < 2205\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 11\): \(20 \times 3 \times 5 \times 11 = 3300\) \(30 \times (3 \times 5 + 5 \times 11 + 11 \times 3) = 30 \times (15 + 55 + 33) = 30 \times 103 = 3090\) \(21 \times 3 \times 5 \times 11 = 3465\) \(3300 < 3090 < 3465\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 13\): \(20 \times 3 \times 5 \times 13 = 3900\) \(30 \times (3 \times 5 + 5 \times 13 + 13 \times 3) = 30 \times (15 + 65 + 39) = 30 \times 119 = 3570\) \(21 \times 3 \times 5 \times 13 = 3825\) \(3900 < 3570 < 3825\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 17\): \(20 \times 3 \times 5 \times 17 = 5100\) \(30 \times (3 \times 5 + 5 \times 17 + 17 \times 3) = 30 \times (15 + 85 + 51) = 30 \times 151 = 4530\) \(21 \times 3 \times 5 \times 17 = 5355\) \(5100 < 4530 < 5355\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 19\): \(20 \times 3 \times 5 \times 19 = 5700\) \(30 \times (3 \times 5 + 5 \times 19 + 19 \times 3) = 30 \times (15 + 95 + 57) = 30 \times 167 = 5010\) \(21 \times 3 \times 5 \times 19 = 5985\) \(5700 < 5010 < 5985\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 23\): \(20 \times 3 \times 5 \times 23 = 6900\) \(30 \times (3 \times 5 + 5 \times 23 + 23 \times 3) = 30 \times (15 + 115 + 69) = 30 \times 199 = 5970\) \(21 \times 3 \times 5 \times 23 = 7245\) \(6900 < 5970 < 7245\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 29\): \(20 \times 3 \times 5 \times 29 = 8700\) \(30 \times (3 \times 5 + 5 \times 29 + 29 \times 3) = 30 \times (15 + 145 + 87) = 30 \times 247 = 7410\) \(21 \times 3 \times 5 \times 29 = 8925\) \(8700 < 7410 < 8925\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = 11\): \(20 \times 3 \times 7 \times 11 = 4620\) \(30 \times (3 \times 7 + 7 \times 11 + 11 \times 3) = 30 \times (21 + 77 + 33) = 30 \times 131 = 3930\) \(21 \times 3 \times 7 \times 11 = 4851\) \(4620 < 3930 < 4851\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = 13\): \(20 \times 3 \times 7 \times 13 = 5460\) \(30 \times (3 \times 7 + 7 \times 13 + 13 \times 3) = 30 \times (21 + 91 + 39) = 30 \times 151 = 4530\) \(21 \times 3 \times 7 \times 13 = 5733\) \(5460 < 4530 < 5733\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = 17\): \(20 \times 3 \times 7 \times 17 = 6960\) \(30 \times (3 \times 7 + 7 \times 17 + 17 \times 3) = 30 \times (21 + 119 + 51) = 30 \times 191 = 5730\) \(21 \times 3 \times 7 \times 17 = 7221\) \(6960 < 5730 < 7221\) (không thỏa mãn) - Giả sử \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = 19\): \(20 \times 3 \times 7 \times 19 = 7980\) \(30 \times (3 \times 7 + 7 \times 19 + 19 \times 3) = 30 \times (21 + 133 + 57) = 30 \times 211 = 6330\) \(21 \times 3 \times 7 \times 19 = 8031\) \(7980 < 6330 < 8031\) (không thỏa mãn) Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.