Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1) Chứng minh $AM = DE.$ Vì M là trung điểm của BC, nên $MB = MC$. Do đó, tam giác $BMC$ là tam giác cân tại M. Xét tam giác vuông $AMB$ và tam giác vuông $EMC$: - $AM$ là cạnh chung. - $MB = MC$ (vì M là trung điểm của BC). - $\angle AMB = \angle EMC = 90^\circ$ (vì $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$). Do đó, hai tam giác vuông $AMB$ và $EMC$ bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c). Từ đó suy ra $AM = EM$. Vì $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$, nên $DE$ là đường trung bình của hình thang $ABEC$, do đó $DE = \frac{1}{2}(AB + EC)$. Tuy nhiên, vì $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ vuông tại A và $AB < AC$), nên $DE = AM$. 2) Tứ giác BDEM là hình gì? Tại sao? Tứ giác $BDEM$ có: - $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$, do đó $\angle BMD = \angle CME = 90^\circ$. - $MB = MC$ (vì M là trung điểm của BC). Do đó, tứ giác $BDEM$ là hình chữ nhật vì có hai đường chéo bằng nhau và hai góc vuông. 3) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của CM. Chứng minh $DP // EQ.$ Vì P là trung điểm của BM và Q là trung điểm của CM, nên $DP$ và $EQ$ là các đường trung bình của các tam giác $BMD$ và $CME$ tương ứng. Do đó, $DP // ME$ và $EQ // MD$. Vì $MD \perp AB$ và $ME \perp AC$, nên $DP // EQ$. 4) $\Delta ABC$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác DPQE là hình chữ nhật. Để tứ giác $DPQE$ là hình chữ nhật, cần có: - $DP = EQ$ (điều này đã được chứng minh do $DP$ và $EQ$ là các đường trung bình của các tam giác $BMD$ và $CME$). - $DP \perp EQ$. Vì $DP // ME$ và $EQ // MD$, để $DP \perp EQ$, cần $ME \perp MD$. Điều này xảy ra khi tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại A, tức là $AB = AC$. Vậy, điều kiện cần thêm là tam giác $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại A. Bài 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh \( AH = MK \): - Xét tam giác vuông \( \triangle AHM \) và \( \triangle AHK \), ta có: - \( \angle AHM = \angle AHK = 90^\circ \). - \( AH \) là cạnh chung. - Do đó, hai tam giác \( \triangle AHM \) và \( \triangle AHK \) vuông tại \( H \) có cạnh huyền chung là \( AH \), nên: - \( HM = HK \). - Từ \( HM \bot AB \) và \( HK \bot AC \), ta có: - \( MK \) là đoạn thẳng nối từ \( M \) đến \( K \) vuông góc với \( AH \). - Do đó, \( AH = MK \). b) Chứng minh \( D \) đối xứng với \( E \) qua \( A \): - Gọi \( M \) là trung điểm của \( DH \), suy ra \( DM = MH \). - Gọi \( K \) là trung điểm của \( HE \), suy ra \( KE = KH \). - Do \( M \) là trung điểm của \( DH \) và \( K \) là trung điểm của \( HE \), ta có: - \( DM = MH \) và \( KE = KH \). - Xét hai tam giác \( \triangle ADM \) và \( \triangle AEK \): - \( AM = AM \) (cạnh chung). - \( DM = KE \) (do \( M \) và \( K \) là trung điểm). - \( \angle DAM = \angle EAK \) (cùng bằng \( 90^\circ \)). - Do đó, hai tam giác \( \triangle ADM \) và \( \triangle AEK \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), suy ra: - \( AD = AE \). - Vậy \( D \) đối xứng với \( E \) qua \( A \). c) Chứng minh \( BD // CE \): - Từ phần b, ta có \( D \) đối xứng với \( E \) qua \( A \), do đó: - \( AD = AE \). - Xét tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACE \): - \( \angle ABD = \angle ACE \) (cùng bằng \( 90^\circ \)). - Do \( AD = AE \) và \( \angle ABD = \angle ACE \), hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp góc-cạnh-góc (g-c-g), suy ra: - \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} \). - Do đó, \( BD // CE \). d) Chứng minh ba đường thẳng \( AC, HI \) và \( EF \) đồng quy: - Trên đoạn \( CK \) lấy điểm \( F \) sao cho \( KF = HM \). - Kẻ \( HI // DE \) với \( I \in EC \). - Xét tam giác \( \triangle AHK \) và \( \triangle AHM \): - \( \angle AHK = \angle AHM = 90^\circ \). - \( AH \) là cạnh chung. - Do đó, \( HK = HM \). - Từ \( KF = HM \), suy ra \( KF = HK \). - Xét tam giác \( \triangle AHK \) và \( \triangle AKF \): - \( \angle AHK = \angle AKF = 90^\circ \). - \( AH = AK \). - Do đó, hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), suy ra: - \( \angle HAK = \angle KAF \). - Do đó, ba đường thẳng \( AC, HI \) và \( EF \) đồng quy tại điểm \( A \). Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.