Trả lời chính xác và giải chi tiết

Câu 1: Để xác định đúng hay sai của các mệnh đề, ta cần thực hiện các phép tính liên quan đến tọa độ trong không gian Oxyz. a) Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ được tính bằng công thức: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Với $A(2;-4;3)$ và $B(2;2;7)$, ta có: \[ M\left(\frac{2 + 2}{2}, \frac{-4 + 2}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) = (2, -1, 5) \] Do đó, mệnh đề a) là đúng. b) Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Với $A(1;1;-2)$ và $B(2;2;1)$, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 2 - 1, 1 - (-2)) = (1, 1, 3) \] Mệnh đề b) cho rằng tọa độ là $(3;1;1)$, do đó mệnh đề b) là sai. c) Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Với $A(1;1;-1)$ và $B(2;3;2)$, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 3 - 1, 2 - (-1)) = (1, 2, 3) \] Do đó, mệnh đề c) là đúng. d) Véc-tơ $\overrightarrow{AO}$ có tọa độ là $(x, y, z)$, với $\overrightarrow{AO} = 3(\overrightarrow i+4\overrightarrow j)-2\overrightarrow k+5\overrightarrow j$, ta cần tính: \[ \overrightarrow{AO} = 3\overrightarrow i + 12\overrightarrow j - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + 17\overrightarrow j - 2\overrightarrow k \] Tọa độ của điểm $A$ là $(3, 17, -2)$, do đó mệnh đề d) là đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 2: Để xác định đúng hay sai của các mệnh đề, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: a) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \( M(-1;2;-2) \) trên trục Oz là điểm \( G(0;0;2) \). - Hình chiếu vuông góc của một điểm trên trục Oz sẽ có hoành độ và tung độ bằng 0, và giữ nguyên tung độ của điểm đó. Do đó, hình chiếu của \( M(-1;2;-2) \) trên trục Oz phải là \( (0;0;-2) \). - Kết luận: Mệnh đề a) sai. b) Trong không gian Oxyz, cho \( A(-1;0;1) \) và \( B(1;-1;2) \), tọa độ véc tơ \( \overrightarrow{AB} \) là \( (2;-1;1) \). - Tọa độ của véc tơ \( \overrightarrow{AB} \) được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm \( B \) trừ đi tọa độ của điểm \( A \): \[ \overrightarrow{AB} = (1 - (-1), -1 - 0, 2 - 1) = (2, -1, 1) \] - Kết luận: Mệnh đề b) đúng. c) Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \( \overrightarrow{u_1}=(1;-2;1) \) và \( \overrightarrow{u_2}=(-1;0;3) \). Vectơ \( \overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2} \) có tọa độ là \( (2;-2;-2) \). - Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{u_1} - \overrightarrow{u_2} \) được tính bằng cách lấy tọa độ của \( \overrightarrow{u_1} \) trừ đi tọa độ của \( \overrightarrow{u_2} \): \[ \overrightarrow{u_1} - \overrightarrow{u_2} = (1 - (-1), -2 - 0, 1 - 3) = (2, -2, -2) \] - Kết luận: Mệnh đề c) đúng. d) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \( M(5;-1;3) \) trên mặt phẳng \( (Oyz) \) có tọa độ là \( (5;0;0) \). - Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng \( (Oyz) \) sẽ có hoành độ bằng 0, và giữ nguyên tung độ và cao độ của điểm đó. Do đó, hình chiếu của \( M(5;-1;3) \) trên mặt phẳng \( (Oyz) \) phải là \( (0;-1;3) \). - Kết luận: Mệnh đề d) sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai. Câu 7: Để xác định đúng hay sai của các mệnh đề, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: a) Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{k}$, khi đó $\overrightarrow{u} = (2; -3; 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{k}$ có tọa độ là $(2; 0; -3)$ vì $\overrightarrow{i}$ là đơn vị trên trục Ox, $\overrightarrow{j}$ là đơn vị trên trục Oy, và $\overrightarrow{k}$ là đơn vị trên trục Oz. Do đó, mệnh đề này sai. b) Trong không gian Oxyz, vectơ đơn vị trên trục Oy là $\overrightarrow{j} = (0; 1; 0)$. - Vectơ đơn vị trên trục Oy là $\overrightarrow{j} = (0; 1; 0)$, điều này là đúng theo định nghĩa của vectơ đơn vị trên các trục tọa độ. Do đó, mệnh đề này đúng. c) Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}(-2; -3; 3)$, $\overrightarrow{b}(0; 2; -1)$, $\overrightarrow{c}(-3; 2; 5)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}$ là $\overrightarrow{u}(-16; -4; 29)$. - Tính toán tọa độ của $\overrightarrow{u}$: \[ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} = 2(-2; -3; 3) - 3(0; 2; -1) + 4(-3; 2; 5) \] \[ = (-4; -6; 6) - (0; 6; -3) + (-12; 8; 20) \] \[ = (-4 - 0 - 12; -6 - 6 + 8; 6 + 3 + 20) \] \[ = (-16; -4; 29) \] Tọa độ tính toán được trùng khớp với tọa độ đã cho. Do đó, mệnh đề này đúng. d) Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm $E(-1; 3; 2)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ có tọa độ là $(-1; 3; 0)$. - Hình chiếu vuông góc của điểm $E(x; y; z)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm có tọa độ $(0; y; z)$, vì trên mặt phẳng $(Oyz)$, tọa độ x phải bằng 0. Do đó, hình chiếu của $E(-1; 3; 2)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ phải là $(0; 3; 2)$. Mệnh đề này sai. Tóm lại: - Mệnh đề a: Sai - Mệnh đề b: Đúng - Mệnh đề c: Đúng - Mệnh đề d: Sai Câu 8: Để xác định đúng hay sai của các mệnh đề, ta cần tính toán từng trường hợp một cách chi tiết. a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: Trọng tâm \( G \) của tam giác có tọa độ \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), \( C(x_3, y_3, z_3) \) được tính bằng công thức: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Với \( A(1, 0, -2) \), \( B(2, 1, -1) \), \( C(1, -2, 2) \), ta có: \[ G\left(\frac{1 + 2 + 1}{3}, \frac{0 + 1 - 2}{3}, \frac{-2 - 1 + 2}{3}\right) = G\left(\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right) \] Do đó, mệnh đề a) sai vì tọa độ trọng tâm không phải là \( G\left(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \). b) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN: Trung điểm \( I \) của đoạn thẳng có hai điểm \( M(x_1, y_1, z_1) \) và \( N(x_2, y_2, z_2) \) được tính bằng công thức: \[ I\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Với \( M(1, -2, 3) \), \( N(3, 0, -1) \), ta có: \[ I\left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{-2 + 0}{2}, \frac{3 - 1}{2}\right) = I(2, -1, 1) \] Do đó, mệnh đề b) đúng. c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng OG: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) với \( A(1, 2, -1) \), \( B(3, 1, -2) \), \( C(2, 3, -3) \) là: \[ G\left(\frac{1 + 3 + 2}{3}, \frac{2 + 1 + 3}{3}, \frac{-1 - 2 - 3}{3}\right) = G(2, 2, -2) \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng \( OG \) là: \[ \overrightarrow{OG} = (2 - 0, 2 - 0, -2 - 0) = (2, 2, -2) \] Do đó, mệnh đề c) đúng. d) Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( O(0, 0, 0) \), \( A(1, 3, -5) \), \( B(-3, 1, -1) \) là: \[ G\left(\frac{0 + 1 - 3}{3}, \frac{0 + 3 + 1}{3}, \frac{0 - 5 - 1}{3}\right) = G\left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, -2\right) \] Do đó, mệnh đề d) sai vì tọa độ trọng tâm không phải là \( G\left(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, -2\right) \). Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai. Câu 11: Để xác định tọa độ điểm \( C \) trong tam giác \( ABC \) với trọng tâm \( G(-3;1;4) \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác trong không gian. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ được tính theo công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Với \( A(1;0;-1) \), \( B(2;3;5) \), và \( G(-3;1;4) \), ta có: 1. Tọa độ \( x \) của trọng tâm: \[ \frac{1 + 2 + x_C}{3} = -3 \] \[ 1 + 2 + x_C = -9 \quad \Rightarrow \quad x_C = -12 \] 2. Tọa độ \( y \) của trọng tâm: \[ \frac{0 + 3 + y_C}{3} = 1 \] \[ 3 + y_C = 3 \quad \Rightarrow \quad y_C = 0 \] 3. Tọa độ \( z \) của trọng tâm: \[ \frac{-1 + 5 + z_C}{3} = 4 \] \[ 4 + z_C = 12 \quad \Rightarrow \quad z_C = 8 \] Vậy tọa độ điểm \( C \) là \( C(-12;0;8) \). Kết luận: Mệnh đề a) sai vì tọa độ điểm \( C \) không phải là \( C(4;2;-1) \) mà là \( C(-12;0;8) \).