Giải chi tiết và chính xác

Chúng ta sẽ giải từng phần b), c) và d) theo thứ tự. b) Ba điểm $A(2;1;3)$, $B(1;-2;2)$, $C(x;y;5)$ thẳng hàng Để ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng, vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{AC}$ phải cùng phương. Ta có: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (1 - 2, -2 - 1, 2 - 3) = (-1, -3, -1)$. - Vectơ $\overrightarrow{AC} = (x - 2, y - 1, 5 - 3) = (x - 2, y - 1, 2)$. Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương khi tồn tại một số thực $k$ sao cho: \[ (x - 2, y - 1, 2) = k(-1, -3, -1) \] Từ đó, ta có hệ phương trình: 1. $x - 2 = -k$ 2. $y - 1 = -3k$ 3. $2 = -k$ Từ phương trình (3), ta có $k = -2$. Thay $k = -2$ vào phương trình (1) và (2): - Phương trình (1): $x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4$. - Phương trình (2): $y - 1 = 6 \Rightarrow y = 7$. Vậy $x = 4$ và $y = 7$, do đó $x + y = 4 + 7 = 11$. c) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ Cho $\overrightarrow{a} = (2, -1, 3)$ và $\overrightarrow{b} = (1, 3, -2)$. Ta tính: \[ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = (2, -1, 3) - 2(1, 3, -2) \] \[ = (2, -1, 3) - (2, 6, -4) = (2 - 2, -1 - 6, 3 + 4) \] \[ = (0, -7, 7) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là $(0, -7, 7)$. d) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$ Cho $\overrightarrow{a} = (2, -5, 3)$, $\overrightarrow{b} = (0, 2, -1)$ và $\overrightarrow{c} = (1, 7, 2)$. Ta tính: \[ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = (2, -5, 3) - 4(0, 2, -1) + 2(1, 7, 2) \] \[ = (2, -5, 3) - (0, 8, -4) + (2, 14, 4) \] \[ = (2, -5, 3) + (2, 14, 4) - (0, 8, -4) \] \[ = (2 + 2, -5 + 14, 3 + 4) - (0, 8, -4) \] \[ = (4, 9, 7) - (0, 8, -4) \] \[ = (4 - 0, 9 - 8, 7 + 4) \] \[ = (4, 1, 11) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}$ là $(4, 1, 11)$. Câu 12: Để xác định các mệnh đề đúng hay sai, chúng ta sẽ phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Mệnh đề a: - Cho các vectơ $\overrightarrow{AB} = (3; -2; 5)$ và $\overrightarrow{AC} = (1; 4; -1)$. - Trung điểm $M$ của đoạn $BC$ có tọa độ là $M\left(\frac{3+1}{2}, \frac{-2+4}{2}, \frac{5-1}{2}\right) = M(2; 1; 2)$. - Độ dài trung tuyến $AM$ được tính bằng công thức: \[ AM = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] - Kết luận: Mệnh đề a đúng. b) Mệnh đề b: - Điểm $A(1; -3; 2)$ đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ có tọa độ là $A'(-1; -3; 2)$. - Khi đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$, hoành độ (tọa độ $x$) sẽ đổi dấu, còn các tọa độ khác giữ nguyên. - Kết luận: Mệnh đề b đúng. c) Mệnh đề c: - Cho hai điểm $A(1; 3; -1)$ và $B(3; -1; 5)$. - Tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$. - Ta có $\overrightarrow{MA} = (1-x; 3-y; -1-z)$ và $\overrightarrow{MB} = (3-x; -1-y; 5-z)$. - Theo điều kiện $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 1-x = 3(3-x) \\ 3-y = 3(-1-y) \\ -1-z = 3(5-z) \end{cases} \] - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 1-x = 9 - 3x \implies 2x = 8 \implies x = 4 \\ 3-y = -3 - 3y \implies 4y = -6 \implies y = -\frac{3}{2} \\ -1-z = 15 - 3z \implies 2z = 16 \implies z = 8 \end{cases} \] - Tọa độ điểm $M$ là $(4; -\frac{3}{2}; 8)$. - Kết luận: Mệnh đề c sai. d) Mệnh đề d: - Cho hai điểm $A(2; 1; 1)$ và $B(0; 3; -1)$. - Điểm $C$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ nên có tọa độ dạng $(x; y; 0)$. - Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$. - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (-2; 2; -2)$ và $\overrightarrow{AC} = (x-2; y-1; -1)$. - Điều kiện thẳng hàng: \[ \frac{-2}{x-2} = \frac{2}{y-1} = \frac{-2}{-1} \] - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{-2}{x-2} = 2 \implies x-2 = -1 \implies x = 1 \\ \frac{2}{y-1} = 2 \implies y-1 = 1 \implies y = 2 \end{cases} \] - Tọa độ điểm $C$ là $(1; 2; 0)$. - Kết luận: Mệnh đề d sai. Tóm lại: - Mệnh đề a đúng. - Mệnh đề b đúng. - Mệnh đề c sai. - Mệnh đề d sai. Câu 16: Để xác định các mệnh đề đúng hay sai, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Mệnh đề a: - Để ba điểm \(A(x;y;-3)\), \(B(6;-2;4)\), \(C(-3;7;-5)\) thẳng hàng, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) phải cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{AC}\). - Tính \(\overrightarrow{AB} = (6-x; -2-y; 4+3)\) và \(\overrightarrow{AC} = (-3-x; 7-y; -5+3)\). - \(\overrightarrow{AB} = (6-x; -2-y; 7)\) và \(\overrightarrow{AC} = (-3-x; 7-y; -2)\). - Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại \(k\) sao cho: \[ \frac{6-x}{-3-x} = \frac{-2-y}{7-y} = \frac{7}{-2} \] - Giải hệ phương trình: \[ \frac{6-x}{-3-x} = \frac{7}{-2} \quad \Rightarrow \quad 2(6-x) = -7(-3-x) \quad \Rightarrow \quad 12 - 2x = 21 + 7x \quad \Rightarrow \quad 9x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] \[ \frac{-2-y}{7-y} = \frac{7}{-2} \quad \Rightarrow \quad -2(-2-y) = 7(7-y) \quad \Rightarrow \quad 4 + 2y = 49 - 7y \quad \Rightarrow \quad 9y = 45 \quad \Rightarrow \quad y = -5 \] - Vậy \(x = 1\) và \(y = -5\) là giá trị để \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng. Mệnh đề a đúng. b) Mệnh đề b: - Điểm \(M\) thuộc trục \(Ox\) có dạng \((x;0;0)\). - \(M\) cách đều \(A(4;2;-1)\) và \(B(2;1;0)\) khi \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}\). - Tính khoảng cách: \[ MA = \sqrt{(x-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + 5} \] \[ MB = \sqrt{(x-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{(x-2)^2 + 1} \] - Để \(MA = MB\), ta có: \[ (x-4)^2 + 5 = (x-2)^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 8x + 16 + 5 = x^2 - 4x + 4 + 1 \] \[ \Rightarrow \quad -8x + 21 = -4x + 5 \quad \Rightarrow \quad -4x = -16 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] - Vậy \(M(4;0;0)\) là điểm cách đều \(A\) và \(B\). Mệnh đề b đúng. c) Mệnh đề c: - Hình chiếu vuông góc của điểm \(M(1;2;-3)\) lên mặt phẳng \((Oyz)\) có hoành độ bằng 0, giữ nguyên tung độ và cao độ. - Vậy hình chiếu là \((0;2;-3)\). Mệnh đề c đúng. d) Mệnh đề d: - \(ABCD\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) hoặc \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). - Tính \(\overrightarrow{AB} = (-2-0; 1+1; -1-1) = (-2; 2; -2)\). - Giả sử \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), ta có: \[ \overrightarrow{BC} = (-1+2; 3-1; 2+1) = (1; 2; 3) \] \[ \overrightarrow{AD} = (x-0; y+1; z-1) \] \[ (x; y+1; z-1) = (1; 2; 3) \quad \Rightarrow \quad x = 1, \, y+1 = 2, \, z-1 = 3 \] \[ \Rightarrow \quad y = 1, \, z = 4 \] - Tọa độ \(D(1;1;4)\) không khớp với mệnh đề. Mệnh đề d sai. Kết luận: - Mệnh đề a đúng. - Mệnh đề b đúng. - Mệnh đề c đúng. - Mệnh đề d sai. Câu 1: Để tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức trung điểm trong không gian ba chiều. Nếu \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là hai điểm trong không gian, thì tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) được tính theo công thức: \[ I\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Áp dụng công thức này cho hai điểm \( A(3, -2, 3) \) và \( B(-1, 2, 5) \): 1. Tọa độ \( x \) của trung điểm \( I \): \[ x_I = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] 2. Tọa độ \( y \) của trung điểm \( I \): \[ y_I = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0 \] 3. Tọa độ \( z \) của trung điểm \( I \): \[ z_I = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] Vậy tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) là \( I(1, 0, 4) \). Do đó, đáp án đúng là \( \boxed{B.~I(1;0;4)} \). Câu 2: Để tìm tọa độ của véctơ \(\overrightarrow{AB}\), ta sử dụng công thức tính tọa độ của véctơ từ hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Áp dụng công thức trên cho hai điểm \(A(1, 1, -1)\) và \(B(2, 3, 2)\), ta có: - Tọa độ \(x\) của \(\overrightarrow{AB}\) là: \(x_2 - x_1 = 2 - 1 = 1\) - Tọa độ \(y\) của \(\overrightarrow{AB}\) là: \(y_2 - y_1 = 3 - 1 = 2\) - Tọa độ \(z\) của \(\overrightarrow{AB}\) là: \(z_2 - z_1 = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3\) Vậy tọa độ của véctơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((1, 2, 3)\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~(1;2;3)\). Câu 3: Để tìm tọa độ của điểm \( A \), ta cần xác định tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{AO}\). Véc-tơ \(\overrightarrow{AO}\) được cho bởi: \[ \overrightarrow{AO} = 3(\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}) - 2\overrightarrow{k} + 5\overrightarrow{j} \] Trước tiên, ta phân tích từng thành phần của véc-tơ: 1. Thành phần theo \(\overrightarrow{i}\): \(3\overrightarrow{i}\). 2. Thành phần theo \(\overrightarrow{j}\): \(3 \times 4\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{j} = 12\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{j} = 17\overrightarrow{j}\). 3. Thành phần theo \(\overrightarrow{k}\): \(-2\overrightarrow{k}\). Vậy véc-tơ \(\overrightarrow{AO}\) có thể viết lại dưới dạng: \[ \overrightarrow{AO} = 3\overrightarrow{i} + 17\overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{k} \] Tọa độ của điểm \( A \) là tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{AO}\) khi điểm \( O \) có tọa độ là \((0, 0, 0)\). Do đó, tọa độ của điểm \( A \) là \((3, 17, -2)\). Vậy đáp án đúng là \( A. (3; 17; -2) \). Câu 4: Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm \( M(-1; 2; -2) \) lên trục \( Oz \), ta cần xác định tọa độ của điểm trên trục \( Oz \) sao cho đường thẳng nối từ \( M \) đến điểm đó vuông góc với trục \( Oz \). Trục \( Oz \) có phương trình dạng \( (0; 0; z) \), nghĩa là các điểm trên trục \( Oz \) có dạng \( (0; 0; z) \). Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một trục là điểm có cùng tọa độ với trục đó, ngoại trừ tọa độ của trục chiếu. Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( M(-1; 2; -2) \) lên trục \( Oz \) sẽ có tọa độ \( (0; 0; -2) \). Vậy, hình chiếu vuông góc của điểm \( M(-1; 2; -2) \) trên trục \( Oz \) là điểm \( F(0; 0; -2) \). Do đó, đáp án đúng là \( C.~F(0;0;-2) \). Câu 5: Để tìm tọa độ điểm \( M \) biết \( B \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AM \), ta sử dụng công thức trung điểm trong không gian. Giả sử \( M(x; y; z) \), thì tọa độ của trung điểm \( B \) được tính theo công thức: \[ B\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Với \( A(1; 2; 4) \) và \( B(3; 4; 2) \), ta có: \[ \left(\frac{1 + x}{2}, \frac{2 + y}{2}, \frac{4 + z}{2}\right) = (3, 4, 2) \] Từ đó, ta thiết lập các phương trình: 1. \(\frac{1 + x}{2} = 3\) 2. \(\frac{2 + y}{2} = 4\) 3. \(\frac{4 + z}{2} = 2\) Giải từng phương trình: 1. \(\frac{1 + x}{2} = 3 \Rightarrow 1 + x = 6 \Rightarrow x = 5\) 2. \(\frac{2 + y}{2} = 4 \Rightarrow 2 + y = 8 \Rightarrow y = 6\) 3. \(\frac{4 + z}{2} = 2 \Rightarrow 4 + z = 4 \Rightarrow z = 0\) Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( M(5; 6; 0) \). Do đó, đáp án đúng là \( \boxed{D} \). Câu 6: Để xác định điểm nào thuộc trục Oz trong không gian Oxyz, ta cần hiểu rằng trục Oz là tập hợp các điểm có tọa độ dạng \((0, 0, z)\), nghĩa là hoành độ (x) và tung độ (y) đều bằng 0, chỉ có cao độ (z) là thay đổi. Vì vậy, để một điểm thuộc trục Oz, nó phải có dạng \((0, 0, z)\). Giả sử ta có một số điểm với tọa độ cụ thể, chẳng hạn: 1. \(A(0, 0, 3)\) 2. \(B(1, 0, 2)\) 3. \(C(0, 1, 0)\) 4. \(D(0, 0, -5)\) Ta sẽ kiểm tra từng điểm: - Điểm \(A(0, 0, 3)\): Có dạng \((0, 0, z)\), nên thuộc trục Oz. - Điểm \(B(1, 0, 2)\): Có hoành độ khác 0, nên không thuộc trục Oz. - Điểm \(C(0, 1, 0)\): Có tung độ khác 0, nên không thuộc trục Oz. - Điểm \(D(0, 0, -5)\): Có dạng \((0, 0, z)\), nên thuộc trục Oz. Kết luận: Các điểm thuộc trục Oz là \(A(0, 0, 3)\) và \(D(0, 0, -5)\).