Trả lời chính xác

Câu 1: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên, ta có: - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \((- \infty, -1)\) và \((0, 1)\). - \( f'(x) = 0 \) tại \( x = -1, 0, 1 \). - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \((-1, 0)\) và \((1, +\infty)\). Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng mà \( f'(x) > 0 \). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0, 1)\). Chọn đáp án: \( D.~(0;1). \) Câu 2: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dựa trên đồ thị, ta cần quan sát kỹ các điểm cực trị và giá trị của hàm số trên trục tung. Từ đồ thị, ta thấy: - Đồ thị có hai điểm cực tiểu đối xứng qua trục tung. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đồ thị là tại điểm thấp nhất của đồ thị, nằm trên trục tung \(y\). - Tại điểm này, giá trị của \(y\) là \(-1\). Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định là \(-1\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~\min_D y = -1.\) Câu 3: Để xác định số lượng đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \), ta cần xem xét các loại đường tiệm cận có thể có: 1. Đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. - Từ bảng biến thiên, ta thấy tại \( x = -2 \), hàm số có giá trị tiến tới \( +\infty \) và \( -\infty \), điều này cho thấy có một đường tiệm cận đứng tại \( x = -2 \). 2. Đường tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận ngang xảy ra khi \( x \to \pm\infty \). - Từ bảng biến thiên, khi \( x \to +\infty \), \( y \to -3 \) và khi \( x \to -\infty \), \( y \to 3 \). Điều này cho thấy có hai đường tiệm cận ngang: \( y = -3 \) và \( y = 3 \). Tóm lại, đồ thị hàm số có tổng cộng 3 đường tiệm cận: 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang. Đáp án: B. 3. Câu 4: Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các phương án đã cho, ta cần phân tích từng hàm số và so sánh với đồ thị đã cho. Phân tích từng hàm số: 1. Hàm số \( y = \frac{x-1}{-x-1} \): - Điều kiện xác định: \(-x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\). - Tiệm cận đứng: \(x = -1\). - Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm\infty} y = -1\). 2. Hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \): - Điều kiện xác định: \(x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\). - Tiệm cận đứng: \(x = 1\). - Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm\infty} y = 1\). 3. Hàm số \( y = \frac{x+1}{-x+1} \): - Điều kiện xác định: \(-x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\). - Tiệm cận đứng: \(x = 1\). - Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm\infty} y = -1\). 4. Hàm số \( y = \frac{x-1}{x+1} \): - Điều kiện xác định: \(x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\). - Tiệm cận đứng: \(x = -1\). - Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm\infty} y = 1\). So sánh với đồ thị: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x = 1\) và tiệm cận ngang tại \(y = 1\). Dựa vào phân tích trên, hàm số phù hợp với đồ thị là: \[ y = \frac{x+1}{x-1} \] Vậy đáp án đúng là \( B. \) Câu 5: Để xác định các khoảng mà hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 1 \) nghịch biến, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 1) = 4x^3 - 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn \( x = -1, 0, 1 \): - Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ y' = 4(-2)^3 - 4(-2) = 4(-8) + 8 = -32 + 8 = -24 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (-\infty, -1) \). - Khoảng \( (-1, 0) \): Chọn \( x = -0.5 \): \[ y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = 4(-0.125) + 2 = -0.5 + 2 = 1.5 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (-1, 0) \). - Khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ y' = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 4(0.125) - 2 = 0.5 - 2 = -1.5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (0, 1) \). - Khoảng \( (1, +\infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ y' = 4(2)^3 - 4(2) = 4(8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (1, +\infty) \). 4. Kết luận: Hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 1 \) nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (0, 1) \). Đáp án đúng là: \[ A.~(-\infty; -1) \text{ và } (0; 1) \] Câu 6: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \), chúng ta cần kiểm tra xem hàm số đó có dạng phân thức và mẫu số của nó có bằng 0 tại \( x = 1 \) hay không. A. \( y = \frac{x + 3}{2x - 1} \) Mẫu số là \( 2x - 1 \). Thay \( x = 1 \) vào mẫu số: \[ 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 \neq 0 \] Vậy hàm số này không có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). B. \( y = \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 3} \) Mẫu số là \( x + 3 \). Thay \( x = 1 \) vào mẫu số: \[ 1 + 3 = 4 \neq 0 \) Vậy hàm số này không có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). C. \( y = \frac{2x}{x^2 + 1} \) Mẫu số là \( x^2 + 1 \). Thay \( x = 1 \) vào mẫu số: \[ 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \neq 0 \) Vậy hàm số này không có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). D. \( y = \frac{2x + 4}{x - 1} \) Mẫu số là \( x - 1 \). Thay \( x = 1 \) vào mẫu số: \[ 1 - 1 = 0 \) Vậy hàm số này có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Do đó, hàm số có đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) là: \[ \boxed{D.~y=\frac{2x+4}{x-1}} \] Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về hình hộp chữ nhật và các vectơ liên quan. Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có các cạnh song song và bằng nhau. Trong đó: - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ phương từ điểm A đến điểm B. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ chỉ phương từ điểm C đến điểm D. - $\overrightarrow{B'A'}$ là vectơ chỉ phương từ điểm B' đến điểm A'. - $\overrightarrow{D'C'}$ là vectơ chỉ phương từ điểm D' đến điểm C'. - $\overrightarrow{BA}$ là vectơ chỉ phương từ điểm B đến điểm A. Chúng ta cần tìm vectơ nào bằng với $\overrightarrow{AB}$. 1. Xét $\overrightarrow{CD}$: - Trong hình hộp chữ nhật, các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương và có độ dài bằng nhau. Vì vậy, $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$. 2. Xét $\overrightarrow{B'A'}$: - $\overrightarrow{B'A'}$ là vectơ chỉ phương từ B' đến A', ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{B'A'} \neq \overrightarrow{AB}$. 3. Xét $\overrightarrow{D'C'}$: - $\overrightarrow{D'C'}$ là vectơ chỉ phương từ D' đến C', không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{D'C'} \neq \overrightarrow{AB}$. 4. Xét $\overrightarrow{BA}$: - $\overrightarrow{BA}$ là vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{AB}$. Kết luận: Vectơ bằng với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{CD}$. Vậy đáp án đúng là C. $\overrightarrow{CD}$. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định vectơ từ gốc tọa độ \( O(0;0;0) \) đến điểm \( M(1;-2;3) \). Vectơ \(\overrightarrow{OM}\) được xác định bằng cách lấy tọa độ của điểm \( M \) trừ đi tọa độ của điểm \( O \). Cụ thể: - Tọa độ của điểm \( O \) là \( (0;0;0) \). - Tọa độ của điểm \( M \) là \( (1;-2;3) \). Do đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OM}\) là: \[ \overrightarrow{OM} = (1 - 0, -2 - 0, 3 - 0) = (1, -2, 3) \] Vectơ \(\overrightarrow{OM}\) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), \(\overrightarrow{k}\) như sau: \[ \overrightarrow{OM} = 1\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ A.~\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}. \] Vậy, đáp án đúng là A.