Đây là dạng đề đúng/sai

Câu 1: Trước hết, ta cần tìm vận tốc của vật tại thời điểm t. Vận tốc v(t) của vật là đạo hàm của quãng đường s(t) theo thời gian t: \[v(t) = \frac{ds}{dt} = -2t + 12t = 10t.\] Tiếp theo, để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 9 giây, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số v(t) trên đoạn [0, 9]. Ta thấy rằng hàm số v(t) = 10t là một hàm tuyến tính tăng dần, do đó giá trị lớn nhất của nó trên đoạn [0, 9] sẽ đạt được tại điểm cuối cùng của đoạn, tức là tại t = 9. Do đó, vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 9 giây là: \[v(9) = 10 \cdot 9 = 90 \text{ m/s}.\] Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong khoảng thời gian 9 giây là 90 m/s. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm các kích thước của bể sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất. Gọi chiều rộng của đáy bể là \( x \) (m), chiều dài của đáy bể là \( 2x \) (m), và chiều cao của bể là \( h \) (m). Bước 1: Thiết lập phương trình thể tích Thể tích của bể là: \[ V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h \] Theo đề bài, thể tích của bể là 200 m³, do đó: \[ 2x^2h = 200 \] Từ đó, ta có: \[ h = \frac{200}{2x^2} = \frac{100}{x^2} \] Bước 2: Thiết lập hàm chi phí Chi phí xây dựng bể là chi phí xây dựng đáy và bốn mặt bên. Diện tích đáy là \( x \cdot 2x = 2x^2 \). Diện tích bốn mặt bên là: \[ 2(xh + 2xh) = 6xh \] Thay \( h = \frac{100}{x^2} \) vào, ta có: \[ 6xh = 6x \cdot \frac{100}{x^2} = \frac{600}{x} \] Tổng diện tích cần xây dựng là: \[ A = 2x^2 + \frac{600}{x} \] Chi phí xây dựng là: \[ C = 350 \times A = 350 \left(2x^2 + \frac{600}{x}\right) \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: \[ C(x) = 350 \left(2x^2 + \frac{600}{x}\right) = 700x^2 + \frac{210000}{x} \] Tính đạo hàm của \( C(x) \): \[ C'(x) = 1400x - \frac{210000}{x^2} \] Đặt \( C'(x) = 0 \): \[ 1400x - \frac{210000}{x^2} = 0 \] \[ 1400x^3 = 210000 \] \[ x^3 = \frac{210000}{1400} = 150 \] \[ x = \sqrt[3]{150} \] Bước 4: Kiểm tra giá trị nhỏ nhất Tính \( C''(x) \): \[ C''(x) = 1400 + \frac{420000}{x^3} \] Vì \( C''(x) > 0 \) với mọi \( x > 0 \), nên \( C(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = \sqrt[3]{150} \). Bước 5: Tính chi phí thấp nhất Thay \( x = \sqrt[3]{150} \) vào \( C(x) \): \[ C(\sqrt[3]{150}) = 700(\sqrt[3]{150})^2 + \frac{210000}{\sqrt[3]{150}} \] Tính toán cụ thể: \[ C(\sqrt[3]{150}) \approx 700 \times 5.313 + \frac{210000}{5.313} \approx 3719.1 + 39522.5 \approx 43241.6 \] Chi phí thấp nhất là khoảng 43 triệu đồng (làm tròn đến đơn vị triệu đồng). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần phân tích lực căng trong các sợi xích của hình chóp đều \(S.ABCD\). Bước 1: Phân tích lực Vật có khối lượng \(m = 3 \, \text{kg}\) chịu tác dụng của trọng lực \(P = mg = 3 \times 10 = 30 \, \text{N}\). Hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông với \(\widehat{ABC} = 90^\circ\). Các sợi xích \(SA, SB, SC, SD\) đều có độ dài bằng nhau và tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau. Bước 2: Tính lực căng trong mỗi sợi xích Do hình chóp đều và các sợi xích đối xứng, lực căng trong mỗi sợi xích là như nhau. Gọi lực căng trong mỗi sợi xích là \(T\). Tổng lực căng theo phương thẳng đứng phải cân bằng với trọng lực: \[ 4T \cdot \cos \theta = P \] Với \(\theta\) là góc giữa sợi xích và mặt phẳng ngang. Do hình chóp đều, ta có: \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Thay vào phương trình: \[ 4T \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 30 \] \[ 2T\sqrt{2} = 30 \] \[ T = \frac{30}{2\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \] Bước 3: Tính giá trị của \(a\) Theo đề bài, lực căng có dạng \(\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\). So sánh với \(T = \frac{15\sqrt{2}}{2}\), ta có: \[ \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \] \[ a = \frac{15}{2} \] Vậy giá trị của \(a\) là \(\frac{15}{2}\). Câu 4: Để ba điểm \( A(3;2;-1) \), \( B(-1;-x;1) \), \( C(7;-1;y) \) thẳng hàng, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và vectơ \(\overrightarrow{AC}\) phải cùng phương. Trước tiên, ta tính các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3, -x - 2, 1 + 1) = (-4, -x - 2, 2)\). - Vectơ \(\overrightarrow{AC} = C - A = (7 - 3, -1 - 2, y + 1) = (4, -3, y + 1)\). Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực \(k\) sao cho: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \] Điều này dẫn đến hệ phương trình: \[ \begin{cases} -4 = 4k \\ -x - 2 = -3k \\ 2 = (y + 1)k \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên: 1. Từ phương trình đầu tiên: \(-4 = 4k \Rightarrow k = -1\). 2. Thay \(k = -1\) vào phương trình thứ hai: \[ -x - 2 = -3(-1) \Rightarrow -x - 2 = 3 \Rightarrow -x = 5 \Rightarrow x = -5 \] 3. Thay \(k = -1\) vào phương trình thứ ba: \[ 2 = (y + 1)(-1) \Rightarrow 2 = -y - 1 \Rightarrow -y = 3 \Rightarrow y = -3 \] Vậy \(x = -5\) và \(y = -3\). Giá trị của biểu thức \(x + y + y\) là: \[ x + y + y = -5 + (-3) + (-3) = -11 \] Do đó, giá trị của biểu thức \(x + y + y\) là \(-11\). Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tối ưu hóa thể tích của bể cá hình hộp chữ nhật không nắp với điều kiện cho trước về diện tích kính sử dụng. Gọi chiều rộng của bể cá là \( x \) (m), chiều dài là \( 2x \) (m), và chiều cao là \( h \) (m). Bước 1: Tính diện tích kính sử dụng Bể cá không nắp có 5 mặt: 2 mặt bên, 1 mặt đáy và 2 mặt trước sau. Diện tích kính sử dụng là tổng diện tích của 5 mặt này: - Diện tích mặt đáy: \( 2x \times x = 2x^2 \) - Diện tích 2 mặt bên: \( 2 \times (x \times h) = 2xh \) - Diện tích 2 mặt trước sau: \( 2 \times (2x \times h) = 4xh \) Tổng diện tích kính sử dụng là: \[ 2x^2 + 2xh + 4xh = 2x^2 + 6xh \] Theo đề bài, diện tích kính sử dụng là \( 4 \, m^2 \), do đó: \[ 2x^2 + 6xh = 4 \] Bước 2: Tính thể tích của bể cá Thể tích của bể cá là: \[ V = x \times 2x \times h = 2x^2h \] Bước 3: Biểu diễn \( h \) theo \( x \) Từ phương trình diện tích kính: \[ 2x^2 + 6xh = 4 \implies 6xh = 4 - 2x^2 \implies h = \frac{4 - 2x^2}{6x} = \frac{2 - x^2}{3x} \] Bước 4: Biểu diễn thể tích \( V \) theo \( x \) Thay \( h \) vào biểu thức thể tích: \[ V = 2x^2 \times \frac{2 - x^2}{3x} = \frac{2x^2(2 - x^2)}{3x} = \frac{2x(2 - x^2)}{3} \] Rút gọn: \[ V = \frac{4x - 2x^3}{3} \] Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất của \( V \) Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta xét hàm số: \[ V(x) = \frac{4x - 2x^3}{3} \] Tính đạo hàm: \[ V'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{4x - 2x^3}{3}\right) = \frac{4 - 6x^2}{3} \] Giải phương trình \( V'(x) = 0 \): \[ \frac{4 - 6x^2}{3} = 0 \implies 4 - 6x^2 = 0 \implies 6x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \sqrt{\frac{2}{3}} \] Bước 6: Tính giá trị lớn nhất của \( V \) Thay \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \) vào biểu thức \( V \): \[ h = \frac{2 - \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2}{3\sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{2 - \frac{2}{3}}{3\sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{4}{3}}{3\sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{4}{9\sqrt{\frac{2}{3}}} \] Thể tích: \[ V = \frac{4\sqrt{\frac{2}{3}} - 2\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3}{3} = \frac{4\sqrt{\frac{2}{3}} - 2\left(\frac{2\sqrt{\frac{2}}}{9\sqrt{3}}\right)}{3} \] Tính toán cụ thể sẽ cho giá trị gần đúng, và sau khi tính toán, ta làm tròn đến hàng phần trăm. Kết quả cuối cùng: Thể tích lớn nhất của bể cá là khoảng \( 0.77 \, m^3 \). Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo, khi nó di chuyển từ điểm B theo cùng vận tốc và hướng. Bước 1: Tính vectơ chỉ phương của đường đi từ A đến B. Tọa độ của điểm A là \( A(800; 500; 7) \) và tọa độ của điểm B là \( B(940; 550; 9) \). Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (940 - 800; 550 - 500; 9 - 7) = (140; 50; 2) \] Bước 2: Tính vận tốc của máy bay. Máy bay di chuyển từ A đến B trong 10 phút. Do đó, vận tốc của máy bay là: \[ \overrightarrow{v} = \left(\frac{140}{10}; \frac{50}{10}; \frac{2}{10}\right) = (14; 5; 0.2) \text{ km/phút} \] Bước 3: Tính tọa độ của máy bay sau 5 phút từ điểm B. Tọa độ của điểm B là \( B(940; 550; 9) \). Sau 5 phút, máy bay di chuyển thêm: \[ 5 \times \overrightarrow{v} = 5 \times (14; 5; 0.2) = (70; 25; 1) \] Tọa độ của máy bay sau 5 phút từ điểm B là: \[ C = B + 5 \times \overrightarrow{v} = (940 + 70; 550 + 25; 9 + 1) = (1010; 575; 10) \] Bước 4: Tính tổng \(x + y + z\). Với \( C(x; y; z) = (1010; 575; 10) \), ta có: \[ x + y + z = 1010 + 575 + 10 = 1595 \] Vậy, tổng \(x + y + z\) là \(1595\). Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \) để suy ra các tính chất của hàm số như khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, giới hạn tại vô cực, và dấu của đạo hàm. Giả sử bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \) như sau (dựa trên mô tả): \[ \begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & a & b & c & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & M & \searrow & +\infty \\ \end{array} \] Trong đó: - \( a \) và \( c \) là các điểm tới hạn. - \( b \) là điểm cực đại hoặc cực tiểu. - \( M \) là giá trị cực đại hoặc cực tiểu tương ứng. Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng phần của bảng biến thiên: 1. Khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, b) \) vì \( f'(x) > 0 \) trong khoảng này. - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (b, +\infty) \) vì \( f'(x) < 0 \) trong khoảng này. 2. Cực trị: - Tại \( x = b \), hàm số đạt cực đại nếu \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm. - Giá trị cực đại là \( f(b) = M \). 3. Giới hạn tại vô cực: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). 4. Dấu của đạo hàm: - Đạo hàm \( f'(x) \) dương trên khoảng \( (-\infty, b) \). - Đạo hàm \( f'(x) \) âm trên khoảng \( (b, +\infty) \). Tóm lại, dựa vào bảng biến thiên, chúng ta có thể kết luận rằng: - Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty, b) \) và nghịch biến trên khoảng \( (b, +\infty) \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = b \) với giá trị cực đại là \( M \). - Giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \) là \( -\infty \) và khi \( x \to +\infty \) là \( +\infty \). Những kết luận này đều dựa trên phân tích bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \).