giải chi tiết

Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho giới hạn của biểu thức \(\frac{4x^2-3x+2}{x+2} - 2ax + b\) khi \(x\) tiến đến vô cùng bằng 0. Sau đó, chúng ta sẽ tính giá trị của \(2a - 3b\). Bước 1: Xét giới hạn của biểu thức \(\frac{4x^2-3x+2}{x+2}\) khi \(x\) tiến đến vô cùng. Ta có: \[ \frac{4x^2-3x+2}{x+2} = \frac{4x^2 + 8x - 11x - 22 + 24}{x+2} = \frac{4x(x+2) - 11(x+2) + 24}{x+2} = 4x - 11 + \frac{24}{x+2} \] Bước 2: Thay biểu thức đã biến đổi vào giới hạn ban đầu. Ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} \left(4x - 11 + \frac{24}{x+2} - 2ax + b\right) = 0 \] Bước 3: Để giới hạn trên bằng 0, các hạng tử chứa \(x\) phải triệt tiêu nhau và phần hằng số cũng phải bằng 0. Do đó, ta có: \[ 4x - 2ax = 0 \quad \text{và} \quad -11 + b = 0 \] Từ đây, ta suy ra: \[ 4 - 2a = 0 \implies a = 2 \] \[ -11 + b = 0 \implies b = 11 \] Bước 4: Tính giá trị của \(2a - 3b\). Ta có: \[ 2a - 3b = 2(2) - 3(11) = 4 - 33 = -29 \] Vậy giá trị của \(2a - 3b\) là \(-29\).