Cho phương trình $x^2-2mx+m-4=0$. Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1^3+x_2^3=26m$.

Question

minhthu_ · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Ta có: Δ$$=\left(-2m\right)^2-4.1.\left(m-4\right)=4m^2-4m+16=\left(2m-1\right)^2+15>0$$

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm với mọi $$m$$

Theo định lí viet: $$x_1+x_2=2m;x_1.x_2=m-4$$

Lại có: $$x_1^3+x_2^3=26m$$

⇔ $$\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1.x_2\left(x_1+x_2\right)=26m$$

⇔ $$8m^3-6m\left(m-4\right)=26m$$

⇔ $$m\left(8m^2-6m-2\right)=0$$

⇔ $$m=0;m=1;m=-\frac{1}{4}$$

Timi · Answer

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $$\Delta&#x27; > 0 \Leftrightarrow m^2-m+4>0.$$
Theo định lý Vi-et ta có $$x_1+x_2=2m; x_1x_2=m-4.$$
Từ giả thiết $$x_1^3+x_2^3=26m,$$ ta có $$26m=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=8m^3-3(m-4)(2m)$$
$$\Leftrightarrow 4m^3-9m+12=0 \Leftrightarrow (m-1)(4m^2+4m-12)=0 \Leftrightarrow m=1 	ext{ hoặc } m=\frac{-3}{2}.$$
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn $$\Delta&#x27; > 0.$$
Vậy $$m=1$$ hoặc $$m=\frac{-3}{2}.$$

Nguyễn Minh Hải Đăng · Answer

. Kiểm tra điều kiện có hai nghiệm phân biệt

$\Delta' = m^2 - (m-4) = m^2 - m + 4.$

Vì $\Delta' = \left(m - \frac{1}{2} ight)^2 + \frac{15}{4} > 0$ với mọi $m$, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Điều kiện này luôn thỏa mãn.

2. Áp dụng Định lý Vi-ét

$x_1 + x_2 = 2m$

$x_1x_2 = m - 4$

3. Biến đổi giả thiết

Từ giả thiết $x_1^3 + x_2^3 = 26m$, ta có:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Thay các giá trị từ Vi-ét vào:

$26m = (2m)^3 - 3(m-4)(2m)$

$26m = 8m^3 - 6m(m-4)$

$26m = 8m^3 - 6m^2 + 24m$

4. Giải phương trình bậc ba

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:

$8m^3 - 6m^2 + 24m - 26m = 0$

$8m^3 - 6m^2 - 2m = 0$

Rút gọn bằng cách chia cả hai vế cho $2$:

$4m^3 - 3m^2 - m = 0$

Phân tích nhân tử $m$:

$m(4m^2 - 3m - 1) = 0$

Phương trình này cho ta nghiệm thứ nhất:

$m = 0$

Giải phương trình bậc hai $4m^2 - 3m - 1 = 0$:

Ta thấy tổng các hệ số là $4 + (-3) + (-1) = 0$.

Do đó, phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

$m = 1 \quad ext{(nghiệm thứ hai)}$

$m = \frac{c}{a} = \frac{-1}{4} \quad ext{(nghiệm thứ ba)}$

5. Kết luận

Các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $m = 0$, $m = 1$, và $m = -\frac{1}{4}$. (Cả ba giá trị này đều thỏa mãn điều kiện $\Delta' > 0$).