Bài 3. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AK. Vẽ đường thẳng d bất kì song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đoạn AK lần lượt ở M, N, I. Chứng minh I là trung điểm của MN.

Bánh Bao Phô Mai

Chứng minh I là trung điểm của MN

• 1. Phân tích giả thiết:
• Tam giác $ABC$.
• $AK$ là đường trung tuyến, suy ra $K$ là trung điểm của $BC$, tức là $KB = KC$.
• Đường thẳng $d$ song song với $BC$, cắt $AB$ tại $M$, $AC$ tại $N$, và $AK$ tại $I$.
• Ta cần chứng minh $I$ là trung điểm của $MN$, tức là $IM = IN$.
• 2. Áp dụng định lý Thales trong $\triangle ABK$ và $\triangle ACK$:
• Xét $\triangle ABK$:
• Vì $MI$ song song với $BK$ (do $MN // BC$ và $I \in MN$, $K \in BC$), áp dụng định lý Thales, ta có tỉ số:
• $\frac{AM}{AB} = \frac{AI}{AK} = \frac{MI}{BK} \quad (1)$
• Xét $\triangle ACK$:
• Vì $IN$ song song với $KC$ (do $MN // BC$ và $I \in MN$, $K \in BC$), áp dụng định lý Thales, ta có tỉ số:
• $\frac{AN}{AC} = \frac{AI}{AK} = \frac{IN}{KC} \quad (2)$
• 3. So sánh các tỉ số:
• Từ (1) và (2), ta thấy cả hai tỉ số đều bằng $\frac{AI}{AK}$:
• $\frac{MI}{BK} = \frac{IN}{KC}$
• 4. Kết luận:
• Ta có giả thiết $K$ là trung điểm của $BC$, nên $BK = KC$.
• Thay $BK = KC$ vào đẳng thức ở bước 3, ta được:
• $\frac{MI}{BK} = \frac{IN}{BK}$
• Nhân cả hai vế với $BK$ (vì $BK \neq 0$), ta suy ra:
• $MI = IN$
• 5. Kết luận cuối cùng:
• Do $I, M, N$ thẳng hàng và $IM = IN$, nên $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

(Điều phải chứng minh)

• Ghi chú bổ sung: Ta cũng có thể sử dụng tỉ số $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ (do $MN // BC$ trong $\triangle ABC$) để chứng minh $M, N$ được tạo thành từ phép vị tự tâm $A$, tỉ số $k = \frac{AM}{AB}$, do đó $MN // BC$. Sau đó sử dụng tính chất ở bước 2 và 3.