Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AD. Từ D vẽ DE vuông góc AB, DF vuông góc AC (E thuộc AB, F thuộc AC). a) Biết AB = 3cm, BC = 5cm. Tính độ dài AC và AD b) C/m: tứ giác AEDF là hình chữ...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Tính độ dài AC và AD Tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagore, ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay số vào, ta có: \[ 5^2 = 3^2 + AC^2 \] \[ 25 = 9 + AC^2 \] \[ AC^2 = 16 \] \[ AC = 4 \, \text{cm} \] Đường trung tuyến AD trong tam giác vuông ABC có tính chất đặc biệt: AD bằng nửa độ dài cạnh huyền BC. Do đó: \[ AD = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{cm} \] b) Chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật Để chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông. - DE vuông góc với AB (giả thiết). - DF vuông góc với AC (giả thiết). Vì DE vuông góc với AB và DF vuông góc với AC, nên góc EDA là góc vuông. - Xét tam giác ADE, vì DE vuông góc với AB, nên góc DEA là góc vuông. - Xét tam giác ADF, vì DF vuông góc với AC, nên góc DFA là góc vuông. Vì tứ giác AEDF có ba góc vuông, nên góc còn lại cũng là góc vuông. Do đó, tứ giác AEDF là hình chữ nhật. c) Chứng minh tứ giác ADBH là hình thoi Gọi H là điểm đối xứng của D qua E, tức là E là trung điểm của DH. - Vì E là trung điểm của DH, nên DE = EH. - AD = DH (vì H đối xứng với D qua E). Trong tam giác vuông ABC, AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, nên AD = DB = DC. Vì AD = DB và AD = DH, nên tứ giác ADBH có hai cặp cạnh đối bằng nhau. - Xét tam giác ADE và tam giác HDE, vì DE = EH và AD = DH, nên hai tam giác này bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Do đó, góc ADE = góc HDE. Vì góc ADE = góc HDE và AD = DH, nên tứ giác ADBH là hình thoi. d) Chứng minh H, A, K thẳng hàng Gọi K là điểm đối xứng của D qua F, tức là F là trung điểm của DK. - Vì F là trung điểm của DK, nên DF = FK. - AD = DK (vì K đối xứng với D qua F). Xét tam giác ADF và tam giác KDF, vì DF = FK và AD = DK, nên hai tam giác này bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Do đó, góc ADF = góc KDF. Vì góc ADF = góc KDF và AD = DK, nên H, A, K thẳng hàng. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.