Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong ba màu: xanh, đỏ, tím. CMR khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3...

Để chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu, ta có thể sử dụng nguyên lý Dirichlet (nguyên lý "hộp bồ câu"). Giả sử rằng mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu: xanh, đỏ, tím. Chúng ta cần chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác cân với các đỉnh có cùng màu hoặc đôi một khác màu. 1. Xét trường hợp cùng màu: - Chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng, gọi là điểm \( A \). - Từ điểm \( A \), ta có thể vẽ vô số đường thẳng đi qua \( A \). Trên mỗi đường thẳng này, ta chọn hai điểm khác nhau, gọi là \( B \) và \( C \). - Nếu \( B \) và \( C \) có cùng màu với \( A \), thì tam giác \( ABC \) là tam giác cân có ba đỉnh cùng màu. 2. Xét trường hợp đôi một khác màu: - Nếu không tồn tại tam giác cân có ba đỉnh cùng màu, thì trên mỗi đường thẳng đi qua \( A \), các điểm \( B \) và \( C \) phải có màu khác nhau với \( A \). - Chọn ba điểm bất kỳ trên mặt phẳng, gọi là \( A, B, C \). Nếu ba điểm này có ba màu khác nhau, thì tam giác \( ABC \) là tam giác cân có ba đỉnh đôi một khác màu. 3. Kết luận: - Dựa vào nguyên lý Dirichlet, khi số lượng điểm và màu sắc là hữu hạn, luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có ba đỉnh cùng màu hoặc đôi một khác màu. Như vậy, ta đã chứng minh được rằng luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.