Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$. CMR: $\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{c+a+4}{2+b}+\frac{a+b+3}{3+c}\ge6$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Ta có: $\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{c+a+4}{2+b}+\frac{a+b+3}{3+c}=\frac{(b+c+1)+4}{1+a}+\frac{(c+a+2)+2}{2+b}+\frac{(a+b+3)}{3+c}$ $=\frac{(6-a)+4}{1+a}+\frac{(6-b)+2}{2+b}+\frac{(6-c)}{3+c}= \frac{10-a}{1+a}+\frac{8-b}{2+b}+\frac{6-c}{3+c}$ $=\frac{11-(1+a)}{1+a}+\frac{10-(2+b)}{2+b}+\frac{9-(3+c)}{3+c}= \frac{11}{1+a}-1+\frac{10}{2+b}-1+\frac{9}{3+c}-1$ $=\left(\frac{11}{1+a}+\frac{10}{2+b}+\frac{9}{3+c}\right)-3.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: $\frac{11}{1+a}+\frac{10}{2+b}+\frac{9}{3+c} \geq \frac{(11+10+9)^2}{11(1+a)+10(2+b)+9(3+c)}=\frac{400}{11+10+27+11a+10b+9c}=\frac{400}{48+11a+10b+9c}.$ Mà $11a+10b+9c=(10a+10b+10c)+(a- c)=10(a+b+c)+(a-c)=60+(a-c)\leq 60+|a-c|\leq 60+(a+c)\leq 60+6=66.$ Do đó $\frac{11}{1+a}+\frac{10}{2+b}+\frac{9}{3+c} \geq \frac{400}{48+66}=\frac{400}{114}=\frac{200}{57}.$ Vậy $\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{c+a+4}{2+b}+\frac{a+b+3}{3+c} \geq \frac{200}{57}-3=\frac{29}{57}>6.$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=2.$