cho một hình chữ nhật abcd có cạnh ab=4, bc=6, m là trung điểm bc, n là trung điểm cd sao cho nd = 3 nc khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác amn bằng a căn 2/b , a/b là phân số tối giản v...

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \triangle AMN \). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(4, 0) \), \( C(4, 6) \), \( D(0, 6) \). - \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên tọa độ của \( M \) là: \[ M\left(\frac{4+4}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (4, 3) \] - \( N \) là điểm trên \( CD \) sao cho \( ND = 3NC \). Vì \( N \) là trung điểm của \( CD \), nên tọa độ của \( N \) là: \[ N\left(\frac{0+4}{2}, \frac{6+6}{2}\right) = (2, 6) \] Bước 2: Tính độ dài các cạnh của tam giác \( \triangle AMN \) - Độ dài \( AM \): \[ AM = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] - Độ dài \( AN \): \[ AN = \sqrt{(2-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] - Độ dài \( MN \): \[ MN = \sqrt{(2-4)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] Bước 3: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \triangle AMN \) Sử dụng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: \[ R = \frac{abc}{4K} \] trong đó \( a = 5 \), \( b = 2\sqrt{10} \), \( c = \sqrt{13} \), và \( K \) là diện tích tam giác. Diện tích \( K \) của tam giác \( \triangle AMN \) có thể tính bằng công thức Heron: \[ s = \frac{5 + 2\sqrt{10} + \sqrt{13}}{2} \] \[ K = \sqrt{s(s-5)(s-2\sqrt{10})(s-\sqrt{13})} \] Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng công thức tọa độ để tính diện tích: \[ K = \frac{1}{2} \left| 0(3-6) + 4(6-0) + 2(0-3) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 24 - 6 \right| = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \] Bán kính \( R \) là: \[ R = \frac{5 \times 2\sqrt{10} \times \sqrt{13}}{4 \times 9} = \frac{10\sqrt{130}}{36} = \frac{5\sqrt{130}}{18} \] Bước 4: Tìm \( a + b \) trong phân số tối giản Phân số \( \frac{5\sqrt{130}}{18} \) có dạng \( \frac{a\sqrt{b}}{c} \) với \( a = 5 \), \( b = 130 \), \( c = 18 \). Tuy nhiên, để tìm \( a + b \) trong phân số tối giản, ta cần kiểm tra lại các bước tính toán và đơn giản hóa nếu cần thiết. Trong trường hợp này, phân số đã tối giản. Vậy, \( a + b = 5 + 18 = 23 \). Kết luận: Giá trị của \( a + b \) là 23.