giúpmình với

Câu 20: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về vectơ và tính chất của trung điểm. Bước 1: Xác định các vectơ liên quan - Gọi \( \overrightarrow{A} \), \( \overrightarrow{B} \), \( \overrightarrow{C} \) lần lượt là các vectơ vị trí của các điểm \( A \), \( B \), \( C \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), ta có: \[ \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \] - Vì \( N \) thuộc \( AC \) và \( AN = 2NC \), ta có: \[ \overrightarrow{N} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C} \] Bước 2: Xác định vectơ \( \overrightarrow{I} \) - \( I \) là trung điểm của \( MN \), do đó: \[ \overrightarrow{I} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{N}) \] Thay \( \overrightarrow{M} \) và \( \overrightarrow{N} \) vào, ta có: \[ \overrightarrow{I} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) + \frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C}\right) \] \[ = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{A} + \frac{1}{2}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C}\right) \] \[ = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{6}\overrightarrow{A} + \frac{1}{2}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C}\right) \] \[ = \frac{7}{12}\overrightarrow{A} + \frac{1}{4}\overrightarrow{B} + \frac{1}{6}\overrightarrow{C} \] Bước 3: Xác định vectơ \( \overrightarrow{P} \) - Giả sử \( \overrightarrow{P} = \overrightarrow{B} + k\overrightarrow{BC} \) với \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \). - Do đó, \( \overrightarrow{P} = \overrightarrow{B} + k(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = (1-k)\overrightarrow{B} + k\overrightarrow{C} \). Bước 4: Sử dụng điều kiện \( AP \) cắt \( MN \) tại \( I \) - Ta có \( \overrightarrow{I} = (1-t)\overrightarrow{A} + t\overrightarrow{P} \) với \( t \) là tham số. - Thay \( \overrightarrow{P} \) vào, ta có: \[ \overrightarrow{I} = (1-t)\overrightarrow{A} + t((1-k)\overrightarrow{B} + k\overrightarrow{C}) \] \[ = (1-t)\overrightarrow{A} + t(1-k)\overrightarrow{B} + tk\overrightarrow{C} \] - So sánh với \( \overrightarrow{I} = \frac{7}{12}\overrightarrow{A} + \frac{1}{4}\overrightarrow{B} + \frac{1}{6}\overrightarrow{C} \), ta có hệ phương trình: \[ 1-t = \frac{7}{12}, \quad t(1-k) = \frac{1}{4}, \quad tk = \frac{1}{6} \] Bước 5: Giải hệ phương trình - Từ \( 1-t = \frac{7}{12} \), suy ra \( t = \frac{5}{12} \). - Thay \( t = \frac{5}{12} \) vào \( tk = \frac{1}{6} \), ta có: \[ \frac{5}{12}k = \frac{1}{6} \Rightarrow k = \frac{2}{5} \] - Thay \( t = \frac{5}{12} \) vào \( t(1-k) = \frac{1}{4} \), ta có: \[ \frac{5}{12}(1-k) = \frac{1}{4} \Rightarrow 1-k = \frac{3}{5} \Rightarrow k = \frac{2}{5} \] Bước 6: Kết luận - Vậy \( \overrightarrow{BP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{BC} \), do đó \( a = 2 \), \( b = 5 \). - Tổng \( a + b = 2 + 5 = 7 \). Kết quả là \( a + b = 7 \).