Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$. Tính giá trị lớn nhất của $Q=abc$.

Question

minhthu_ · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Ta có: $$\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}$$

Tương tự: $$\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}$$

$$\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}$$

⇒ $$\frac{1}{1+a}\cdot\frac{1}{1+b}\cdot\frac{1}{1+c}\ge8\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}$$

⇒ $$abc\le\frac{1}{8}$$

Vậy MaxQ$$=\frac{1}{8}$$ kvck $$a=b=c=\frac{1}{2}$$

Timi · Answer

Đặt $ x = \frac{1}{1+a}, y = \frac{1}{1+b}, z = \frac{1}{1+c} $. Ta có $ x + y + z = 2 $ và $ 0 < x, y, z < 1 $.

Biến đổi $ Q $ theo $ x, y, z $:
$$ abc = \left( \frac{1-x}{x} \right) \left( \frac{1-y}{y} \right) \left( \frac{1-z}{z} \right) = \frac{(1-x)(1-y)(1-z)}{xyz}. $$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$ \frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow \frac{2}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \leq \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}. $$

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho $ 1-x, 1-y, 1-z $:
$$ \frac{(1-x)+(1-y)+(1-z)}{3} \geq \sqrt[3]{(1-x)(1-y)(1-z)} \Rightarrow \frac{3-(x+y+z)}{3} \geq \sqrt[3]{(1-x)(1-y)(1-z)} \Rightarrow \frac{1}{3} \geq \sqrt[3]{(1-x)(1-y)(1-z)} \Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z) \leq \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}. $$

Do đó:
$$ Q = \frac{(1-x)(1-y)(1-z)}{xyz} \leq \frac{\frac{1}{27}}{\frac{8}{27}} = \frac{1}{8}. $$

Dấu bằng xảy ra khi $ x = y = z = \frac{2}{3} $, tức là $ a = b = c = \frac{1}{2} $.

Giá trị lớn nhất của $ Q $ là $ \frac{1}{8} $, đạt được khi $ a = b = c = \frac{1}{2} $.