wow nhiều bài r + n quy

Bài I: 1. a) \( x - 3 - 3x(x - 3) = 0 \) \( x - 3 - 3x^2 + 9x = 0 \) \( -3x^2 + 10x - 3 = 0 \) Ta có \( a = -3, b = 10, c = -3 \) Phương trình có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) Ta có \( \Delta = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(-3)(-3) = 100 - 36 = 64 \) \( \sqrt{\Delta} = 8 \) Do đó, ta có: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + 8}{2(-3)} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 - 8}{2(-3)} = \frac{-18}{-6} = 3 \) Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{3} \) hoặc \( x = 3 \). b) \( \frac{4x - 2}{3} + x \leq \frac{1 + 5x}{4} \) Nhân cả hai vế với 12 để loại bỏ mẫu số: \( 4(4x - 2) + 12x \leq 3(1 + 5x) \) \( 16x - 8 + 12x \leq 3 + 15x \) \( 28x - 8 \leq 3 + 15x \) \( 28x - 15x \leq 3 + 8 \) \( 13x \leq 11 \) \( x \leq \frac{11}{13} \) Vậy nghiệm của bất phương trình là \( x \leq \frac{11}{13} \). 2. Giải hệ phương trình sau: \[ \left\{\begin{array}{l}2x-3y=-5\\-x+2y=3\end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ \left\{\begin{array}{l}2x-3y=-5\\-2x+4y=6\end{array}\right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (2x - 3y) + (-2x + 4y) = -5 + 6 \] \[ y = 1 \] Thay \( y = 1 \) vào phương trình thứ hai: \[ -x + 2(1) = 3 \] \[ -x + 2 = 3 \] \[ -x = 1 \] \[ x = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = -1 \) và \( y = 1 \). 3. Tính giá trị biểu thức: \[ M = \sqrt{32} - 3\sqrt{8} + 6\sqrt{\frac{1}{2}} + 2\sqrt{50} \] \[ M = \sqrt{16 \cdot 2} - 3\sqrt{4 \cdot 2} + 6\sqrt{\frac{1}{2}} + 2\sqrt{25 \cdot 2} \] \[ M = 4\sqrt{2} - 3 \cdot 2\sqrt{2} + 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot 5\sqrt{2} \] \[ M = 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 10\sqrt{2} \] \[ M = 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 10\sqrt{2} \] \[ M = (4 - 6 + 3 + 10)\sqrt{2} \] \[ M = 11\sqrt{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là \( 11\sqrt{2} \). Bài II: 1. Thay $x=16$ vào biểu thức $A=\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x-2}$ ta được: \[A=\frac{\sqrt{16}-3}{\sqrt{16}-2}=\frac{4-3}{4-2}=\frac{1}{2}\] 2. Ta có: \[B=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+2}+\frac{5\sqrt x-2}{x-4}\] \[=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+2}+\frac{5\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}\] \[=\frac{(\sqrt x-1)(\sqrt x-2)+5\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}\] \[=\frac{x-3\sqrt x+2+5\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}\] \[=\frac{x+2\sqrt x}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}\] \[=\frac{\sqrt x(\sqrt x+2)}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}\] \[=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}\] 3. Ta có: \[P=B:A=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}:\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x-2}=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}.\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x-3}=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}\] Yêu cầu bài toán tương đương với: \[\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}<1\] \[\Leftrightarrow \frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-1<0\] \[\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt x-3}<0\] \[\Leftrightarrow \sqrt x-3>0\] \[\Leftrightarrow \sqrt x>3\] \[\Leftrightarrow x>9\] Vậy các giá trị nguyên của x thỏa mãn đề bài là: 10, 11, 12, ... Bài III: Gọi số học sinh lớp 9 của trường A tham gia dự thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2024 là x (học sinh, điều kiện: 0 < x < 700). Số học sinh lớp 9 của trường B tham gia dự thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2024 là 700 - x (học sinh). Theo đề bài ta có: Số học sinh đạt điểm trung bình các môn dự thi không dưới 8 điểm của trường A là 60%x (học sinh). Số học sinh đạt điểm trung bình các môn dự thi không dưới 8 điểm của trường B là 80%(700 - x) (học sinh). Ta có phương trình: 60%x + 80%(700 - x) = 500 Giải phương trình trên: 0,6x + 0,8(700 - x) = 500 0,6x + 560 - 0,8x = 500 -0,2x = -60 x = 300 Vậy số học sinh lớp 9 của trường A tham gia dự thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2024 là 300 học sinh. Số học sinh lớp 9 của trường B tham gia dự thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2024 là 700 - 300 = 400 học sinh. Bài IV: Bài 1: Tính chiều cao của tòa tháp Để tính chiều cao của tòa tháp, ta sử dụng định lý về góc và cạnh trong tam giác vuông. Khi tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc $40^\circ$, ta có thể coi tòa tháp, bóng của nó và tia nắng mặt trời tạo thành một tam giác vuông. Gọi \( h \) là chiều cao của tòa tháp. Theo định lý về góc và cạnh trong tam giác vuông, ta có: \[ \tan 40^\circ = \frac{h}{135} \] Từ đó, ta tính được: \[ h = 135 \times \tan 40^\circ \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\tan 40^\circ\), ta có: \[ \tan 40^\circ \approx 0.8391 \] Do đó: \[ h \approx 135 \times 0.8391 \approx 113.3 \, \text{m} \] Vậy chiều cao của tòa tháp là khoảng \(113.3\) m. Bài 2: Chứng minh hình học a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn Ta cần chứng minh rằng tứ giác \(ABOC\) nội tiếp trong một đường tròn. Để làm điều này, ta chứng minh rằng \(\angle AOB = \angle ACB = 90^\circ\). Vì \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O;R)\), nên \(\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ\). Do đó, \(\angle AOB + \angle ACB = 180^\circ\), chứng tỏ tứ giác \(ABOC\) nội tiếp trong một đường tròn. b) Chứng minh \(AO\) vuông góc với \(BC\) và \(AM \cdot AN = AH \cdot AO\) - Chứng minh \(AO\) vuông góc với \(BC\): Vì \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến, nên \(\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ\). Do đó, \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\), tức là \(AO\) vuông góc với \(BC\). - Chứng minh \(AM \cdot AN = AH \cdot AO\): Theo định lý về đường kính và dây cung, ta có: \[ AM \cdot AN = AO^2 - R^2 \] Vì \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\), theo định lý về đường kính và dây cung, ta có: \[ AH \cdot AO = AO^2 - R^2 \] Do đó, \(AM \cdot AN = AH \cdot AO\). c) Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(CE\) - Kẻ đường kính \(BD\): Vì \(BD\) là đường kính, nên \(\angle BCD = 90^\circ\). - Gọi \(E\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(BD\): Do đó, \(CE\) là đường cao từ \(C\) xuống \(BD\). - Gọi \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(CE\): Ta cần chứng minh rằng \(K\) là trung điểm của \(CE\). Vì \(AD\) là đường kính, nên \(\angle ACD = 90^\circ\). Do đó, tam giác \(ACD\) là tam giác vuông tại \(C\). Theo tính chất của tam giác vuông, \(K\) là trung điểm của \(CE\) vì \(AD\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(CE\). Vậy \(K\) là trung điểm của \(CE\). Bài V: Để tìm diện tích lớn nhất của cửa ra vào hình chữ nhật MNPQ, ta cần xác định vị trí của các đỉnh M, N, P, Q sao cho diện tích hình chữ nhật là lớn nhất. 1. Đặt vấn đề và điều kiện: - Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh 6 m. - Đỉnh M và N nằm trên cạnh BC, đỉnh P nằm trên cạnh AC, và đỉnh Q nằm trên cạnh AB. - Ta cần tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật MNPQ. 2. Phân tích hình học: - Do tam giác ABC đều, các cạnh BC, AC, AB đều có độ dài 6 m. - Gọi \( x \) là độ dài đoạn BM (tương đương với CN), khi đó độ dài đoạn MN cũng là \( x \). - Gọi \( y \) là độ dài đoạn AP (tương đương với AQ), khi đó độ dài đoạn PQ cũng là \( y \). 3. Diện tích hình chữ nhật: - Diện tích của hình chữ nhật MNPQ là \( S = MN \times PQ = x \times y \). 4. Điều kiện của \( x \) và \( y \): - Do M và N nằm trên BC, nên \( 0 \leq x \leq 6 \). - Do P và Q nằm trên AC và AB, nên \( 0 \leq y \leq 6 \). 5. Tối ưu hóa diện tích: - Để diện tích \( S = x \times y \) lớn nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức này dưới điều kiện \( x + y = 6 \) (vì tam giác đều và các điểm M, N, P, Q tạo thành hình chữ nhật). - Từ điều kiện \( x + y = 6 \), ta có \( y = 6 - x \). - Thay vào biểu thức diện tích: \( S = x \times (6 - x) = 6x - x^2 \). 6. Tìm giá trị lớn nhất của \( S \): - Biểu thức \( S = 6x - x^2 \) là một hàm bậc hai có dạng \( S = -x^2 + 6x \). - Để tìm giá trị lớn nhất, ta tìm đỉnh của parabol này. Đỉnh của parabol \( ax^2 + bx + c \) có hoành độ \( x = -\frac{b}{2a} \). - Ở đây, \( a = -1 \), \( b = 6 \), nên \( x = -\frac{6}{2 \times (-1)} = 3 \). 7. Kết luận: - Khi \( x = 3 \), thì \( y = 6 - x = 3 \). - Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật MNPQ là \( S = 3 \times 3 = 9 \) m². Vậy diện tích lớn nhất của cửa ra vào hình chữ nhật MNPQ là 9 m².