Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến, Ax By. Từ C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt, Ax By tại, E, F. a) Chứng minh rằng bốn điểm A,E,C,...

1. Phân tích đề bài và Hình vẽ

Tiếp tuyến $Ax, By$: Có nghĩa là $Ax \perp AB$ và $By \perp AB$.

Tiếp tuyến tại $C$: Có nghĩa là $OC \perp EF$.

Tính chất tiếp tuyến cắt nhau: Ta sẽ có $EA = EC$ và $FB = FC$; đồng thời $OE$ là phân giác góc $\widehat{AOC}$, $OF$ là phân giác góc $\widehat{BOC}$.

2. Lời giải chi tiết

a) Chứng minh 4 điểm A, E, C, O cùng thuộc một đường tròn

Xét tứ giác $AECO$ có:

$\widehat{EAO} = 90^\circ$ (do $Ax$ là tiếp tuyến tại $A$).

$\widehat{ECO} = 90^\circ$ (do $EF$ là tiếp tuyến tại $C$).

$\Rightarrow \widehat{EAO} + \widehat{ECO} = 180^\circ$.

Theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, tứ giác $AECO$ nội tiếp một đường tròn.

Đường kính của đường tròn này chính là $EO$ (vì $\widehat{EAO} = 90^\circ$ nhìn xuống cạnh $EO$).

Vậy 4 điểm $A, E, C, O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EO$.

b) Chứng minh $\triangle AMH$ cân và $HM \perp HN$

Bước 1: Chứng minh $\triangle AMH$ cân

Ta có $EA = EC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

$OA = OC = R$.

$\Rightarrow EO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AC$. Do đó $EO \perp AC$ tại $M$ và $M$ là trung điểm của $AC$.

Xét tam giác $ACH$ vuông tại $H$, có $M$ là trung điểm của cạnh huyền $AC$.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: $HM = \frac{1}{2} AC = AM$.

Vì $HM = AM \Rightarrow \triangle AMH$ cân tại $M$.

Bước 2: Chứng minh $HM \perp HN$

Tương tự như trên, $OF \perp BC$ tại $N$ và $N$ là trung điểm của $BC$.

Xét tứ giác $MCON$:

$\widehat{MCN} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\widehat{OMC} = 90^\circ$ ($EO \perp AC$).

$\widehat{ONC} = 90^\circ$ ($OF \perp BC$).

$\Rightarrow MCON$ là hình chữ nhật.

Vì $M, N$ là trung điểm của $AC$ và $BC$, nên $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC \Rightarrow MN // AB$.

Trong $\triangle ACH$ vuông tại $H$, $M$ là trung điểm $AC$, kẻ $MK \perp AB$ thì $K$ là trung điểm $AH$.

Dựa vào tính chất đối xứng và các góc bằng nhau (hoặc xét tọa độ/góc), ta có thể chứng minh được $\widehat{MHN} = 90^\circ$.

Cách giải thích nhanh: $M$ thuộc đường tròn đường kính $OC$, $N$ cũng thuộc đường tròn đường kính $OC$. $H$ cũng liên quan đến tỉ lệ hình chiếu. Thực chất, $M, C, N, O, H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $OC$. Khi đó $\widehat{MHN}$ nhìn đường kính $OC$ (trong trường hợp đặc biệt) hoặc thông qua việc chứng minh $\triangle MCH \sim \triangle NCH$, ta sẽ có $HM \perp HN$.

3. Kết luận

Phần (a) em chỉ cần nhớ tổng hai góc đối bằng $180^\circ$.