Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Phân giác BD của góc B ( D thuộc AC ). Vẽ DI vuông góc với BC (I thuộc BC). a) Chứng minh Δ ABD = Δ IBD. Từ đó suy ra AD = ID b) Chứng minh: BD ⟂ AI.

1. Hình vẽ và Giả thiết$\triangle ABC$ vuông tại $A$ ($\widehat{A} = 90^\circ$).$BD$ là tia phân giác của $\widehat{B}$ ($D \in AC$).$DI \perp BC$ ($I \in BC$).2. Lời giải chi tiếta) Chứng minh $\Delta ABD = \Delta IBD$ và suy ra $AD = ID$Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta IBD$ có:Cạnh huyền $BD$ chung.$\widehat{ABD} = \widehat{IBD}$ (vì $BD$ là tia phân giác của góc $B$).$\widehat{BAD} = \widehat{BID} = 90^\circ$ (theo giả thiết).$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta IBD$ (cạnh huyền - góc nhọn).Suy ra: $AD = ID$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau).b) Chứng minh $BD \perp AI$Để chứng minh $BD \perp AI$, ta có thể thực hiện theo hai cách. Cách dưới đây là cách phổ biến và dễ hiểu nhất:Từ $\Delta ABD = \Delta IBD$ (chứng minh ở câu a), ta suy ra: $BA = BI$ (hai cạnh tương ứng).Xét $\triangle BAI$:Vì $BA = BI$ nên $\triangle BAI$ cân tại $B$.Trong tam giác cân $BAI$, $BD$ là đường phân giác của góc ở đỉnh ($B$).Theo tính chất của tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời cũng là đường cao.$\Rightarrow BD \perp AI$ (điều phải chứng minh).3. Một số lưu ý thêmĐiểm D: Vì $D$ nằm trên tia phân giác của góc $B$ và cách đều hai cạnh $AB, BC$ ($AD=ID$), đây chính là tính chất cơ bản của tia phân giác mà em đã học.Đường trung trực: Vì $BA = BI$ và $DA = DI$, ta cũng có thể suy ra $BD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AI$. Mà đường trung trực thì luôn vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm.