Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$. Tìm GTNN của biểu thức: $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$.

Question

minhthu_ · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Từ gt: $$2ab+6bc+2ac=7abc$$; $$a,b,c>0$$

Chia cả 2 vế cho $$abc>0$$ ⇒ $$\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7$$

Đặt $$\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\left(x,y,z>0\right)$$

⇒ $$2z+6x+2y=7$$

⇒ $$C=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)$$

$$C=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17>\ge17$$

Dấu "=" xảy ra kvck $$x=\frac{1}{2};y=z=1$$ ⇔ $$a=2;b=c=1$$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ C = \frac{4ab}{a+2b} + \frac{9ac}{a+4c} + \frac{4bc}{b+c} $ với điều kiện $ 2ab + 6bc + 2ac = 7abc $, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Đầu tiên, chúng ta viết lại điều kiện đã cho:
$$ 2ab + 6bc + 2ac = 7abc. $$

Chia cả hai vế cho $ abc $:
$$ \frac{2}{c} + \frac{6}{a} + \frac{2}{b} = 7. $$

Bây giờ, chúng ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng phần của biểu thức $ C $:

1. Xét $ \frac{4ab}{a+2b} $:
$$ \frac{4ab}{a+2b} = \frac{4ab}{a+2b} \cdot \frac{1}{1} \geq \frac{(2\sqrt{2})^2}{a+2b} = \frac{8}{a+2b}. $$

2. Xét $ \frac{9ac}{a+4c} $:
$$ \frac{9ac}{a+4c} = \frac{9ac}{a+4c} \cdot \frac{1}{1} \geq \frac{(3\sqrt{3})^2}{a+4c} = \frac{27}{a+4c}. $$

3. Xét $ \frac{4bc}{b+c} $:
$$ \frac{4bc}{b+c} = \frac{4bc}{b+c} \cdot \frac{1}{1} \geq \frac{(2\sqrt{2})^2}{b+c} = \frac{8}{b+c}. $$

Tổng hợp lại, ta có:
$$ C \geq \frac{8}{a+2b} + \frac{27}{a+4c} + \frac{8}{b+c}. $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz lần nữa cho tổng này:
$$ \left( \frac{8}{a+2b} + \frac{27}{a+4c} + \frac{8}{b+c} \right) \left( (a+2b) + (a+4c) + (b+c) \right) \geq (2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2. $$

Rút gọn:
$$ \left( \frac{8}{a+2b} + \frac{27}{a+4c} + \frac{8}{b+c} \right) \left( 2a + 3b + 5c \right) \geq (4\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2. $$

Do đó:
$$ \frac{8}{a+2b} + \frac{27}{a+4c} + \frac{8}{b+c} \geq \frac{(4\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2}{2a + 3b + 5c}. $$

Cuối cùng, ta có:
$$ C \geq \frac{(4\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2}{2a + 3b + 5c}. $$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ C $, ta cần tối ưu hóa $ 2a + 3b + 5c $ dưới điều kiện $ \frac{2}{c} + \frac{6}{a} + \frac{2}{b} = 7 $.

Giả sử $ a = b = c $, ta có:
$$ \frac{2}{a} + \frac{6}{a} + \frac{2}{a} = 7 \implies \frac{10}{a} = 7 \implies a = \frac{10}{7}. $$

Thay $ a = b = c = \frac{10}{7} $ vào $ C $:
$$ C = \frac{4 \left( \frac{10}{7} \right)^2}{\frac{10}{7} + 2 \left( \frac{10}{7} \right)} + \frac{9 \left( \frac{10}{7} \right)^2}{\frac{10}{7} + 4 \left( \frac{10}{7} \right)} + \frac{4 \left( \frac{10}{7} \right)^2}{\frac{10}{7} + \frac{10}{7}}. $$

Rút gọn:
$$ C = \frac{4 \left( \frac{100}{49} \right)}{\frac{30}{7}} + \frac{9 \left( \frac{100}{49} \right)}{\frac{50}{7}} + \frac{4 \left( \frac{100}{49} \right)}{\frac{20}{7}}. $$

$$ C = \frac{400}{105} + \frac{900}{245} + \frac{400}{70}. $$

$$ C = \frac{400}{105} + \frac{900}{245} + \frac{400}{70} = 12. $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ C $ là 12, đạt được khi $ a = b = c = \frac{10}{7} $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ C $ là 12.