Câu 20. (1,0 đ). Cho tam giác ABC vuông tại A \left(AB<AC\right).\ Gọi M là trung điểm của BC, kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc AC tại F. a) Chứng minh: Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) Tr...

Câu 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật Để chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông. 1. Góc AEM: Do ME vuông góc với AB tại E, nên góc AEM là góc vuông. 2. Góc AMF: Do MF vuông góc với AC tại F, nên góc AMF là góc vuông. 3. Góc EFM: Vì ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC, mà AB và AC là hai cạnh của tam giác vuông ABC, nên ME và MF là hai đường cao của tam giác vuông. Do đó, góc EFM là góc vuông. 4. Góc AFE: Từ các góc đã chứng minh, ta có góc AFE cũng là góc vuông vì tổng các góc trong tứ giác là 360 độ và ba góc còn lại đã là góc vuông. Vì tứ giác AEMF có bốn góc vuông, nên AEMF là hình chữ nhật. b) Điều kiện để tứ giác AMCK là hình vuông Để tứ giác AMCK là hình vuông, chúng ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau. 1. Điều kiện về góc: - AM vuông góc với AC (vì MF vuông góc với AC và M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung tuyến và cũng là đường cao của tam giác vuông ABC). - AM vuông góc với AB (vì ME vuông góc với AB và M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung tuyến và cũng là đường cao của tam giác vuông ABC). 2. Điều kiện về cạnh: - FM = FK (theo giả thiết). - AM = MC (vì M là trung điểm của BC). 3. Điều kiện về điểm K: - Để tứ giác AMCK là hình vuông, điểm K phải nằm trên đường thẳng vuông góc với AM tại M và cách M một khoảng bằng AM (vì AM = MC = MK). Vậy, điều kiện cần thiết để tứ giác AMCK là hình vuông là tam giác ABC phải có thêm điều kiện: AM = MC = MK và điểm K nằm trên đường thẳng vuông góc với AM tại M. Điều này có thể xảy ra khi tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, tức là AB = AC.