. Giải hộ mình câu này với các bạn

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( A = \frac{abc(a^2 + b^2 + c^2)}{ab + bc + ca} \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số \((a, b, c)\): \[ (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c)^2 \] \[ (a^2 + b^2 + c^2) \cdot 3 \geq (a + b + c)^2 \] Bước 2: Chia cả hai vế cho 3: \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3} \] Bước 3: Ta có: \[ ab + bc + ca \leq \frac{(a + b + c)^2}{3} \] Bước 4: Kết hợp hai bất đẳng thức trên: \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3} \geq ab + bc + ca \] Bước 5: Do đó: \[ \frac{abc(a^2 + b^2 + c^2)}{ab + bc + ca} \geq \frac{abc \cdot \frac{(a + b + c)^2}{3}}{ab + bc + ca} \] Bước 6: Đặt \( S = a + b + c \), ta có: \[ \frac{abc \cdot \frac{S^2}{3}}{ab + bc + ca} \] Bước 7: Để tìm GTNN, ta xét trường hợp \( a = b = c \): \[ a = b = c \implies a^2 + b^2 + c^2 = 3a^2 \] \[ ab + bc + ca = 3a^2 \] Bước 8: Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{a \cdot a \cdot a \cdot 3a^2}{3a^2} = \frac{3a^3}{3a^2} = a \] Bước 9: Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( a \), đạt được khi \( a = b = c \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( a \), đạt được khi \( a = b = c \).