Cho dãy số sau: $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{2}{1};\frac{1}{3};\frac{2}{2};\frac{3}{1};\frac{1}{4};\frac{2}{3};\frac{3}{2};\frac{4}{1};\frac{1}{5};\frac{2}{4};\frac{3}{3};\frac{4}{2};\frac{5}{1};\frac{1}{6};\frac{2}{5};\frac{3}{4};\ldots$. TÌm số hạng thứ 2013 trong dãy số trên.

Question

Timi · Accepted Answer

Ta thấy dãy số đã cho được sắp xếp theo quy luật sau:
- Nhóm 1: $\frac{1}{1}$
- Nhóm 2: $\frac{1}{2};\frac{2}{1}$
- Nhóm 3: $\frac{1}{3};\frac{2}{2};\frac{3}{1}$
- Nhóm 4: $\frac{1}{4};\frac{2}{3};\frac{3}{2};\frac{4}{1}$
- Nhóm 5: $\frac{1}{5};\frac{2}{4};\frac{3}{3};\frac{4}{2};\frac{5}{1}$
- Nhóm 6: $\frac{1}{6};\frac{2}{5};\frac{3}{4};\frac{4}{3};\frac{5}{2};\frac{6}{1}$

Nhận xét: Nhóm n có n phần tử. 
Tổng số phần tử của các nhóm từ nhóm 1 đến nhóm n là: $1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Ta cần tìm số tự nhiên k sao cho $\frac{k(k+1)}{2}<2013<\frac{(k+1)(k+2)}{2}$
Thử lần lượt ta thấy $k=62$ thỏa mãn $\frac{62	imes 63}{2}=1953<2013<\frac{63	imes 64}{2}=2016$

Vậy số hạng thứ 2013 nằm ở nhóm 63. 
Số thứ tự của số hạng này trong nhóm 63 là: $2013-1953=60$

Nhận xét: Trong nhóm 63, các phân số có tổng của tử số và mẫu số bằng 64. 
Phân số đứng đầu nhóm 63 là $\frac{1}{63}$, phân số thứ 60 trong nhóm 63 là $\frac{60}{64-60}=\frac{60}{4}=\frac{15}{1}$

Vậy số hạng thứ 2013 trong dãy số trên là $\frac{15}{1}$.

Cho dãy số sau:...