giúp mình làm đề này với mn

Câu 11: Để giải phương trình \(\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{3\pi}{4})\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm số sin. Bước 1: Sử dụng công thức \(\sin A = \sin B\) Hàm số sin có tính chất: \[ \sin A = \sin B \implies A = B + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi - B + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Áp dụng vào phương trình đã cho: \[ \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{3\pi}{4}) \] Ta có hai trường hợp: 1. \(2x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi\) 2. \(2x - \frac{\pi}{4} = \pi - (x + \frac{3\pi}{4}) + k2\pi\) Bước 2: Giải từng trường hợp Trường hợp 1: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = x + \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x - x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ x = \pi + k2\pi \] Trường hợp 2: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \pi - x - \frac{3\pi}{4} + k2\pi \] \[ 2x + x = \pi - \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k2\pi \] \[ 3x = \pi + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3} \] Bước 3: Kết luận nghiệm Phương trình có nghiệm: \[ \left[\begin{array}{l} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \end{array}\right. \] Bước 4: Kiểm tra các đáp án Đáp án a): \[ \left[\begin{array}{l} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \end{array}\right. \] Sai vì \(x = \frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}\) không đúng với nghiệm tìm được. Đáp án b): Trong khoảng \((0; \pi)\): - \(x = \pi + k2\pi\) không nằm trong khoảng \((0; \pi)\). - \(x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3}\): - Với \(k = 0\): \(x = \frac{\pi}{3}\) - Với \(k = 1\): \(x = \pi\) (không nằm trong khoảng \((0; \pi)\)) Vậy trong khoảng \((0; \pi)\), phương trình có 1 nghiệm là \(x = \frac{\pi}{3}\). Đáp án c): Tổng các nghiệm trong khoảng \((0; \pi)\) là \(\frac{\pi}{3}\), không bằng \(\frac{7\pi}{6}\). Đáp án d): Nghiệm lớn nhất trong khoảng \((0; \pi)\) là \(\frac{\pi}{3}\), không bằng \(\frac{5\pi}{6}\). Kết luận: Các đáp án đều sai. Câu 12: Để tính các giới hạn sau, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về dãy số và giới hạn đã học ở lớp 11. a) \( \lim (\sqrt{3})^n = -\infty \) Lập luận: - Ta biết rằng \( \sqrt{3} > 1 \). Do đó, khi \( n \to \infty \), \( (\sqrt{3})^n \) sẽ tăng không bị chặn. - Tuy nhiên, đề bài yêu cầu giới hạn bằng \(-\infty\), điều này không đúng vì \( (\sqrt{3})^n \) luôn dương và tăng không bị chặn. - Vậy, \( \lim (\sqrt{3})^n = +\infty \). b) \( \lim \pi^n = 0 \) Lập luận: - Ta biết rằng \( \pi > 1 \). Do đó, khi \( n \to \infty \), \( \pi^n \) sẽ tăng không bị chặn. - Tuy nhiên, đề bài yêu cầu giới hạn bằng 0, điều này không đúng vì \( \pi^n \) luôn dương và tăng không bị chặn. - Vậy, \( \lim \pi^n = +\infty \). c) \( \lim (n^3 + 2n^2 - 4) = +\infty \) Lập luận: - Xét đa thức \( n^3 + 2n^2 - 4 \). Khi \( n \to \infty \), hạng tử \( n^3 \) sẽ thống trị và tăng không bị chặn. - Do đó, \( \lim (n^3 + 2n^2 - 4) = +\infty \). d) \( \lim (-n^4 + 5n^3 - 4n) = -\infty \) Lập luận: - Xét đa thức \( -n^4 + 5n^3 - 4n \). Khi \( n \to \infty \), hạng tử \( -n^4 \) sẽ thống trị và giảm không bị chặn. - Do đó, \( \lim (-n^4 + 5n^3 - 4n) = -\infty \). Tóm lại, các giới hạn đã cho có kết quả như sau: a) \( \lim (\sqrt{3})^n = +\infty \) b) \( \lim \pi^n = +\infty \) c) \( \lim (n^3 + 2n^2 - 4) = +\infty \) d) \( \lim (-n^4 + 5n^3 - 4n) = -\infty \) Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng giới hạn và tính liên tục của hàm số tại điểm \( x = -1 \). Hàm số đã cho là: \[ f(x) = \begin{cases} x - 2 & \text{nếu } x < -1 \\ \sqrt{x^2 + 1} & \text{nếu } x \geq -1 \end{cases} \] Kiểm tra các giới hạn: a) Giới hạn \(\lim_{x \to -2} f(x)\): Khi \( x \to -2 \), \( x \) nằm trong khoảng \( x < -1 \). Do đó, ta sử dụng phần đầu tiên của hàm số: \[ f(x) = x - 2 \] \[ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (x - 2) = -2 - 2 = -4 \] Vậy, phát biểu a) sai vì \(\lim_{x \to -2} f(x) = -4\) chứ không phải \(\sqrt{5}\). b) Giới hạn \(\lim_{x \to -1^-} f(x)\): Khi \( x \to -1^- \), \( x \) nằm trong khoảng \( x < -1 \). Do đó, ta sử dụng phần đầu tiên của hàm số: \[ f(x) = x - 2 \] \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x - 2) = -1 - 2 = -3 \] Vậy, phát biểu b) đúng vì \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = -3\). c) Giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\): Khi \( x \to +\infty \), \( x \) nằm trong khoảng \( x \geq -1 \). Do đó, ta sử dụng phần thứ hai của hàm số: \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \] \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1} = +\infty \] Vậy, phát biểu c) sai vì \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) chứ không phải \(\sqrt{2}\). d) Hàm số tồn tại giới hạn khi \( x \to -1 \): Để hàm số tồn tại giới hạn khi \( x \to -1 \), giới hạn trái và giới hạn phải tại \( x = -1 \) phải bằng nhau. - Giới hạn trái (\( x \to -1^- \)): \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -3 \] - Giới hạn phải (\( x \to -1^+ \)): \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \sqrt{(-1)^2 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Vì \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = -3\) và \(\lim_{x \to -1^+} f(x) = \sqrt{2}\) không bằng nhau, nên hàm số không tồn tại giới hạn khi \( x \to -1 \). Vậy, phát biểu d) sai. Kết luận: Phát biểu đúng duy nhất là: b) Giới hạn \(\lim_{x \to -1^-} f(x) = -3\). Câu 14: Để giải bài toán này, ta cần xác định số hàng cây được trồng theo quy luật đã cho. Số cây trồng theo từng hàng tạo thành một dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1. Cụ thể, số cây trồng ở hàng thứ \( n \) là \( n \) cây. Tổng số cây trồng từ hàng thứ nhất đến hàng thứ \( n \) là tổng của dãy số tự nhiên từ 1 đến \( n \), được tính theo công thức: \[ S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \] Theo đề bài, tổng số cây trồng là 3240 cây. Do đó, ta có phương trình: \[ \frac{n(n+1)}{2} = 3240 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ n(n+1) = 6480 \] Đây là một phương trình bậc hai ẩn \( n \). Ta có thể giải phương trình này bằng cách đưa về dạng chuẩn: \[ n^2 + n - 6480 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -6480 \), ta có: \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 6480}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 25920}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{25921}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm 161}{2} \] Ta có hai nghiệm: 1. \( n = \frac{-1 + 161}{2} = 80 \) 2. \( n = \frac{-1 - 161}{2} = -81 \) (loại vì \( n \) phải là số tự nhiên) Vậy, số hàng cây là \( n = 80 \). Kết luận: Có tất cả 80 hàng cây. Câu 15: Để hàm số liên tục tại \( x = -1 \), ta cần đảm bảo rằng giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \(-1\) từ hai phía phải bằng giá trị của hàm số tại \( x = -1 \). Trước tiên, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \(-1\) từ bên trái và bên phải: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1} \] \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1} \] Ta sẽ rút gọn biểu thức trong phân thức: \[ \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{x + 1} \] Khi \( x \neq -1 \), ta có thể rút gọn: \[ \frac{(x - 3)(x + 1)}{x + 1} = x - 3 \] Do đó: \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x - 3) = -1 - 3 = -4 \] \[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x - 3) = -1 - 3 = -4 \] Giá trị của hàm số tại \( x = -1 \) là: \[ f(-1) = 2a + 4 \] Để hàm số liên tục tại \( x = -1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) \] \[ -4 = 2a + 4 \] Giải phương trình này để tìm \( a \): \[ -4 = 2a + 4 \] \[ -4 - 4 = 2a \] \[ -8 = 2a \] \[ a = -4 \] Vậy giá trị của \( a \) là \(-4\). Câu 16: Ta có: $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^2+2018}}{x+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^2(1+\frac{2018}{x^2})}}{x(1+\frac{1}{x})}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{|x|\sqrt{1+\frac{2018}{x^2}}}{x(1+\frac{1}{x})}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\sqrt{1+\frac{2018}{x^2}}}{x(1+\frac{1}{x})}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{2018}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt{1+0}}{1+0}=1.$ Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần phân tích hình học không gian của hình chóp S.ABCD và các điểm M, N, P, Q. 1. Xác định các điểm trung điểm: - M là trung điểm của BC. - N là trung điểm của CD. - P là trung điểm của SA. 2. Xác định điểm Q: - Q là giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MNP). 3. Phân tích hình học: - Do M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD, nên MN là đường trung bình của tam giác BCD. Do đó, MN song song với BD và MN = $\frac{1}{2}$ BD. - P là trung điểm của SA, nên SP = PA. 4. Xác định mặt phẳng (MNP): - Mặt phẳng (MNP) chứa các điểm M, N, P. Do M và N là trung điểm của các cạnh của hình bình hành ABCD, nên MN song song với AD và BC. - P là trung điểm của SA, nên mặt phẳng (MNP) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể xem xét đối xứng qua mặt phẳng này. 5. Tìm giao điểm Q: - Để tìm Q, ta cần xác định vị trí của Q trên SB sao cho Q thuộc mặt phẳng (MNP). - Do Q thuộc SB, ta có thể biểu diễn Q dưới dạng: \( Q = S + t(B - S) \) với \( 0 \leq t \leq 1 \). 6. Tính tỉ số \(\frac{QP}{QS}\): - Vì Q thuộc mặt phẳng (MNP), ta có thể sử dụng tính chất của mặt phẳng và các điểm trung điểm để xác định tỉ số này. - Do P là trung điểm của SA, và Q là điểm trên SB, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng và trung điểm để suy ra rằng Q chia SB theo tỉ lệ 1:1, tức là Q là trung điểm của SB. - Do đó, \( QP = \frac{1}{2} SP \) và \( QS = \frac{1}{2} SB \). 7. Kết luận: - Tỉ số \(\frac{QP}{QS} = \frac{\frac{1}{2} SP}{\frac{1}{2} SB} = \frac{SP}{SB} = \frac{1}{2}\). Vậy, tỉ số \(\frac{QP}{QS}\) là 0.50.