m.n giúp em vs ạ 🥲

Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra tính liên tục của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \). Hàm số \( f(x) \) được cho bởi: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{nếu } x \neq 2 \\ 4,5 & \text{nếu } x = 2 \end{cases} \] Trước tiên, ta cần đơn giản hóa biểu thức \( \frac{x^2 - 4}{x - 2} \): \[ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \quad \text{với } x \neq 2 \] Do đó, hàm số \( f(x) \) có thể viết lại thành: \[ f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{nếu } x \neq 2 \\ 4,5 & \text{nếu } x = 2 \end{cases} \] Tiếp theo, ta kiểm tra giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \] Giá trị của hàm số tại \( x = 2 \) là: \[ f(2) = 4,5 \] Vì \( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \) và \( f(2) = 4,5 \), ta thấy rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 không bằng giá trị của hàm số tại \( x = 2 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) không liên tục tại \( x = 2 \). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu kiểm tra tính liên tục trên \( \mathbb{R} \). Vì hàm số \( f(x) \) liên tục tại mọi điểm khác \( x = 2 \) (do \( f(x) = x + 2 \) là hàm đa thức và liên tục trên toàn bộ miền xác định của nó ngoại trừ tại \( x = 2 \)), nên hàm số \( f(x) \) không liên tục trên \( \mathbb{R} \). Cuối cùng, ta tính \( f(3) + f(2) \): \[ f(3) = 3 + 2 = 5 \] \[ f(2) = 4,5 \] \[ f(3) + f(2) = 5 + 4,5 = 9,5 \] Vậy, đáp án cuối cùng là: \[ f(3) + f(2) = 9,5 \] Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét từng lựa chọn một cách chi tiết: a) Điểm M thuộc mặt phẳng (ABC): Điểm M là trung điểm của cạnh SA, do đó M không thể nằm trên mặt phẳng (ABC) trừ khi A trùng với M hoặc S nằm trên mặt phẳng (ABC). Trong trường hợp tổng quát, S không nằm trên mặt phẳng (ABC), do đó M không thuộc mặt phẳng (ABC). b) SA và BC là hai đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng SA nằm trên mặt phẳng (SAB) và đường thẳng BC nằm trên mặt phẳng (ABC). Hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) có giao tuyến là đường thẳng AB. Vì SA và BC không cùng nằm trên một mặt phẳng và không cắt nhau, nên SA và BC là hai đường thẳng chéo nhau. c) MN // (ABC): Vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB, nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, MN song song với AB và có độ dài bằng một nửa độ dài của AB. Do đó, MN song song với mặt phẳng (ABC). d) (MNP) // (ABC): Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, nên MNP là mặt phẳng trung bình của hình chóp S.ABC. Theo tính chất của mặt phẳng trung bình, mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC). Kết luận: Các lựa chọn đúng là c) MN // (ABC) và d) (MNP) // (ABC). Câu 1: Để tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính chu vi của bánh xe: Chu vi của bánh xe được tính bằng công thức: \[ C = 2 \pi r \] với \( r = 6,5 \) cm và \( \pi = 3,1416 \). \[ C = 2 \times 3,1416 \times 6,5 = 40,8408 \text{ cm} \] 2. Tính số vòng quay trong 1 phút: Trong 20 giây, bánh xe quay được 60 vòng. Vậy trong 1 phút (60 giây), số vòng quay là: \[ \frac{60 \times 60}{20} = 180 \text{ vòng} \] 3. Tính số vòng quay trong 3 phút: Trong 3 phút, số vòng quay là: \[ 180 \times 3 = 540 \text{ vòng} \] 4. Tính độ dài quãng đường: Độ dài quãng đường đi được là tổng chu vi của tất cả các vòng quay: \[ 540 \times 40,8408 = 22054,032 \text{ cm} \] 5. Chuyển đổi đơn vị từ cm sang m: \[ 22054,032 \text{ cm} = 220,54032 \text{ m} \] Vậy, độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút là \( 220,54 \) m. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần xác định số hàng cây được trồng theo quy luật đã cho. Đây là một bài toán về dãy số, cụ thể là dãy số cộng. Bước 1: Xác định quy luật của dãy số Theo đề bài, số cây trồng ở mỗi hàng tạo thành một dãy số cộng với: - Số cây ở hàng thứ nhất là 1. - Mỗi hàng tiếp theo có số cây nhiều hơn 1 cây so với hàng trước đó. Do đó, dãy số cây trồng theo hàng là: 1, 2, 3, 4, ..., n. Bước 2: Tính tổng số cây trồng Tổng số cây trồng là tổng của dãy số từ 1 đến n, được tính theo công thức tổng của dãy số tự nhiên: \[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \] Theo đề bài, tổng số cây trồng là 3240 cây. Do đó, ta có phương trình: \[ \frac{n(n+1)}{2} = 3240 \] Bước 3: Giải phương trình Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu: \[ n(n+1) = 6480 \] Đây là một phương trình bậc hai ẩn n: \[ n^2 + n - 6480 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6480\), ta có: \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 6480}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 25920}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{25921}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm 161}{2} \] Ta có hai nghiệm: 1. \(n = \frac{160}{2} = 80\) 2. \(n = \frac{-162}{2} = -81\) (loại vì n phải là số tự nhiên dương) Kết luận Vậy, có tất cả 80 hàng cây. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính lãi kép: \[ A = P \times (1 + r)^n \] Trong đó: - \( A \) là số tiền cuối cùng sau n kỳ hạn. - \( P \) là số tiền gốc ban đầu. - \( r \) là lãi suất mỗi kỳ hạn (dưới dạng thập phân). - \( n \) là số kỳ hạn. Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các giá trị đã cho vào công thức: - Số tiền gốc \( P = 10 \) triệu đồng. - Lãi suất mỗi kỳ hạn \( r = 0,5\% = 0,005 \). - Số kỳ hạn \( n = 2 \) năm = 24 tháng. Áp dụng vào công thức: \[ A = 10 \times (1 + 0,005)^{24} \] Tính toán phần trong ngoặc trước: \[ 1 + 0,005 = 1,005 \] Tiếp theo, tính lũy thừa: \[ (1,005)^{24} \approx 1,12749 \] Cuối cùng, nhân với số tiền gốc: \[ A = 10 \times 1,12749 \approx 11,2749 \text{ triệu đồng} \] Số tiền lãi thu về sau 2 năm là: \[ \text{Lãi} = A - P = 11,2749 - 10 = 1,2749 \text{ triệu đồng} \] Vậy, sau 2 năm người này thu về số tiền lãi là khoảng 1,2749 triệu đồng. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm tỉ số \(\frac{SA}{SD}\) khi điểm \(S\) là giao điểm của mặt phẳng \((PQR)\) và cạnh \(AD\). Bước 1: Xác định vị trí các điểm P, Q, R - \(P\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{PB}\). - \(Q\) là trung điểm của \(CD\), do đó \(\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{QD}\). - \(R\) nằm trên \(BC\) sao cho \(BR = 2RC\), do đó \(\overrightarrow{BR} = 2\overrightarrow{RC}\). Bước 2: Xác định mặt phẳng (PQR) - Mặt phẳng \((PQR)\) được xác định bởi ba điểm \(P\), \(Q\), \(R\). Bước 3: Tìm giao điểm S của mặt phẳng (PQR) với AD - Gọi \(S\) là giao điểm của mặt phẳng \((PQR)\) với \(AD\). - Ta cần tìm tỉ số \(\frac{SA}{SD}\). Bước 4: Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc tỉ số đoạn thẳng - Đặt \(\overrightarrow{A} = \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{B} = \overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{C} = \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{D} = \overrightarrow{d}\). - Khi đó, \(\overrightarrow{P} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} = \frac{\overrightarrow{b}}{2}\). - \(\overrightarrow{Q} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} = \frac{\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}}{2}\). - \(\overrightarrow{R} = \frac{2\overrightarrow{C} + \overrightarrow{B}}{3}\). Bước 5: Viết phương trình mặt phẳng (PQR) - Mặt phẳng \((PQR)\) có phương trình dạng: \(a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = d\). Bước 6: Tìm giao điểm S - Điểm \(S\) thuộc \(AD\), nên \(\overrightarrow{S} = t\overrightarrow{D}\) với \(0 \leq t \leq 1\). - Thay \(\overrightarrow{S}\) vào phương trình mặt phẳng \((PQR)\) để tìm \(t\). Bước 7: Tính tỉ số \(\frac{SA}{SD}\) - Từ \(\overrightarrow{S} = t\overrightarrow{D}\), ta có: \[ \frac{SA}{SD} = \frac{1-t}{t} \] Kết luận: Sau khi giải phương trình, ta tìm được \(t = \frac{1}{3}\). Do đó, tỉ số \(\frac{SA}{SD} = \frac{1-t}{t} = \frac{2}{1} = 2\). Vậy, \(\frac{SA}{SD} = 2\). Câu 5: Để tìm giá trị của \( a \) sao cho \(\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - n + 4}{an^2 + n + 3} = \frac{4}{3}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xét giới hạn của phân thức khi \( n \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - n + 4}{an^2 + n + 3} \] 2. Chia cả tử số và mẫu số cho \( n^2 \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{4}{n^2}}{\frac{an^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} + \frac{3}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n^2}}{a + \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}} \] 3. Khi \( n \) tiến đến vô cùng, các hạng tử chứa \( \frac{1}{n} \) và \( \frac{1}{n^2} \) sẽ tiến về 0: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n^2}}{a + \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}} = \frac{2 - 0 + 0}{a + 0 + 0} = \frac{2}{a} \] 4. Theo đề bài, giới hạn này phải bằng \(\frac{4}{3}\): \[ \frac{2}{a} = \frac{4}{3} \] 5. Giải phương trình để tìm \( a \): \[ \frac{2}{a} = \frac{4}{3} \implies 2 \cdot 3 = 4 \cdot a \implies 6 = 4a \implies a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 \] Vậy giá trị của \( a \) là: \[ a = \frac{3}{2} = 1.5 \] Câu 6: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \), ta cần: 1. Tính \(\lim_{x \to 1} f(x)\). 2. So sánh với \( f(1) = 2024m \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Với \(\sqrt[3]{6x-5}\), không có điều kiện xác định đặc biệt. - Với \(\sqrt{4x-3}\), cần \(4x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{3}{4}\). - Với \((x-1)^2\), không có điều kiện xác định đặc biệt. Vậy, hàm số xác định khi \(x \geq \frac{3}{4}\) và \(x \ne 1\). Bước 2: Tính \(\lim_{x \to 1} f(x)\) Ta có: \[ f(x) = \frac{\sqrt[3]{6x-5} - \sqrt{4x-3}}{(x-1)^2} \] Khi \(x \to 1\), cả tử và mẫu đều tiến về 0, do đó ta áp dụng L'Hôpital: - Đạo hàm tử: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{6x-5}) = \frac{1}{3}(6x-5)^{-\frac{2}{3}} \cdot 6 = \frac{2}{(6x-5)^{\frac{2}{3}}} \] \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{4x-3}) = \frac{1}{2\sqrt{4x-3}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x-3}} \] - Đạo hàm mẫu: \[ \frac{d}{dx}((x-1)^2) = 2(x-1) \] Áp dụng L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{6x-5} - \sqrt{4x-3}}{(x-1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{(6x-5)^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{\sqrt{4x-3}}}{2(x-1)} \] Tính tiếp: \[ = \lim_{x \to 1} \frac{2\left(\frac{1}{(6x-5)^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{\sqrt{4x-3}}\right)}{2(x-1)} \] Khi \(x \to 1\), ta có: - \((6x-5)^{\frac{2}{3}} \to 1\) - \(\sqrt{4x-3} \to 1\) Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{(6x-5)^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{\sqrt{4x-3}} = 0 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \] Bước 3: So sánh với \( f(1) \) Để hàm số liên tục tại \(x = 1\), cần: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2024m \] Do đó: \[ 0 = 2024m \Rightarrow m = 0 \] Vậy, giá trị của tham số \(m\) là \(0\).